Найти скалярное произведение двух векторов

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Векторная алгебра (Скалярное произведение векторов)

Условие

Нам даны два вектора:

• \( \vec{a} = \{-4, 0, 1\} \)
• \( \vec{b} = \{1, 2, 3\} \)

Нужно найти их скалярное произведение.

Скалярное произведение

Скалярное произведение двух векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) в трёхмерном пространстве вычисляется по формуле:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 \]

Где:

• \( a_1, a_2, a_3 \) — координаты вектора \( \vec{a} \),
• \( b_1, b_2, b_3 \) — координаты вектора \( \vec{b} \).

Решение

Подставим координаты векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) в формулу:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (-4) \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \]

Рассчитываем по шагам:

1. \( (-4) \cdot 1 = -4 \)
2. \( 0 \cdot 2 = 0 \)
3. \( 1 \cdot 3 = 3 \)

Теперь найдём сумму:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = -4 + 0 + 3 = -1 \]

Ответ:

Скалярное произведение \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) равно -1.