Найти скалярное произведение a и b

Предмет: Математика
Раздел: Векторная алгебра

Скалярное произведение двух векторов определяется по формуле:

 a \cdot b = |a| |b| \cos \theta 

Однако, если векторы заданы через линейные комбинации других векторов, то удобнее воспользоваться распределительным свойством скалярного произведения.

Даны векторы:
 a = -2p - 4q 
 b = 4p + 2q 

Распишем скалярное произведение:

 a \cdot b = (-2p - 4q) \cdot (4p + 2q) 

Используем распределительное свойство:

 a \cdot b = (-2p \cdot 4p) + (-2p \cdot 2q) + (-4q \cdot 4p) + (-4q \cdot 2q) 

Воспользуемся свойствами скалярного произведения:

1.  p \cdot p = |p|^2 = 4^2 = 16 
2.  q \cdot q = |q|^2 = 5^2 = 25 
3.  p \cdot q = |p| |q| \cos 120^\circ = 4 \cdot 5 \cdot (-\frac{1}{2}) = -10 

Теперь вычислим каждое слагаемое:

 (-2p \cdot 4p) = -8 (p \cdot p) = -8 \cdot 16 = -128 
 (-2p \cdot 2q) = -4 (p \cdot q) = -4 \cdot (-10) = 40 
 (-4q \cdot 4p) = -16 (q \cdot p) = -16 \cdot (-10) = 160 
 (-4q \cdot 2q) = -8 (q \cdot q) = -8 \cdot 25 = -200 

Складываем все слагаемые:

 a \cdot b = -128 + 40 + 160 - 200 = -128 - 200 + 40 + 160 = -128 - 200 + 200 = -128 

Ответ:
 a \cdot b = -128