Найти скалярное произведение

Это задание относится к предмету математики, раздел "векторная алгебра".

Нас просят найти скалярное произведение двух векторов.

Даны:

1. $|a|=4$
2. $|b|=1$
3. Угол между векторами $a$ и $b$ составляет 120 градусов.
4. Векторы: $u=a+b$, $v=3a-2b$

Найдём скалярное произведение векторов $u$ и $v$.

$u\cdot v=(a+b)\cdot (3a-2b)$

Используем дистрибутивность скалярного произведения:

$u\cdot v=a\cdot (3a-2b)+b\cdot (3a-2b)$

Разобьём дальше:

$u\cdot v=3(a\cdot a)-2(a\cdot b)+3(b\cdot a)-2(b\cdot b)$

Так как $a\cdot b=b\cdot a$, упростим:

$u\cdot v=3(a\cdot a)-2(a\cdot b)+3(a\cdot b)-2(b\cdot b)$

$u\cdot v=3(a\cdot a)+(a\cdot b)-2(b\cdot b)$

Теперь находим скалярные произведения:

$a\cdot a=|a{|}^2=4^2=16$

$b\cdot b=|b{|}^2=1^2=1$

Для нахождения $(a\cdot b)$ используем формулу скалярного произведения:

$a\cdot b=|a||b|\cos \theta =4\cdot 1\cdot \cos {120}^{\circ }$

Зная, что $\cos {120}^{\circ }=-\frac{1}{2}$, получаем:

$a\cdot b=4\cdot 1\cdot -\frac{1}{2}=-2$

Теперь подставим все найденные значения в формулу:

$u\cdot v=3\cdot 16+(-2)-2\cdot 1=48-2-2=44$

Итак, скалярное произведение векторов $u$ и $v$ равняется 44.