Найти скалярное произведение

Это задание относится к предмету математики, раздел "векторная алгебра".

Нас просят найти скалярное произведение двух векторов.

Даны:

1. |a| = 4
2. |b| = 1
3. Угол между векторами a и b составляет 120 градусов.
4. Векторы: u = a + b, v = 3a - 2b

Найдём скалярное произведение векторов u и v.

u \cdot v = (a + b) \cdot (3a - 2b)

Используем дистрибутивность скалярного произведения:

u \cdot v = a \cdot (3a - 2b) + b \cdot (3a - 2b)

Разобьём дальше:

u \cdot v = 3(a \cdot a) - 2(a \cdot b) + 3(b \cdot a) - 2(b \cdot b)

Так как a \cdot b = b \cdot a, упростим:

u \cdot v = 3(a \cdot a) - 2(a \cdot b) + 3(a \cdot b) - 2(b \cdot b)

u \cdot v = 3(a \cdot a) + (a \cdot b) - 2(b \cdot b)

Теперь находим скалярные произведения:

a \cdot a = |a|^2 = 4^2 = 16

b \cdot b = |b|^2 = 1^2 = 1

Для нахождения (a \cdot b) используем формулу скалярного произведения:

a \cdot b = |a||b| \cos{\theta} = 4 \cdot 1 \cdot \cos{120^\circ}

Зная, что \cos{120^\circ} = -\frac{1}{2}, получаем:

a \cdot b = 4 \cdot 1 \cdot -\frac{1}{2} = -2

Теперь подставим все найденные значения в формулу:

u \cdot v = 3 \cdot 16 + (-2) - 2 \cdot 1 = 48 - 2 - 2 = 44

Итак, скалярное произведение векторов u и v равняется 44.