Найти скалярное произведение

Условие:

найти скалярное произведение

Решение:

Это задание относится к предмету математики, раздел "векторная алгебра". Нас просят найти скалярное произведение двух векторов. Даны: 1. \(|a| = 4\) 2. \(|b| = 1\) 3. Угол между векторами \(a\) и \(b\) составляет 120 градусов. 4. Векторы: \(u = a + b\), \(v = 3a - 2b\) Найдём скалярное произведение векторов \(u\) и \(v\). \[ u \cdot v = (a + b) \cdot (3a - 2b) \] Используем дистрибутивность скалярного произведения: \[ u \cdot v = a \cdot (3a - 2b) + b \cdot (3a - 2b) \] Разобьём дальше: \[ u \cdot v = 3(a \cdot a) - 2(a \cdot b) + 3(b \cdot a) - 2(b \cdot b) \] Так как \(a \cdot b = b \cdot a\), упростим: \[ u \cdot v = 3(a \cdot a) - 2(a \cdot b) + 3(a \cdot b) - 2(b \cdot b) \] \[ u \cdot v = 3(a \cdot a) + (a \cdot b) - 2(b \cdot b) \] Теперь находим скалярные произведения: \[ a \cdot a = |a|^2 = 4^2 = 16 \] \[ b \cdot b = |b|^2 = 1^2 = 1 \] Для нахождения \((a \cdot b)\) используем формулу скалярного произведения: \[ a \cdot b = |a||b| \cos{\theta} = 4 \cdot 1 \cdot \cos{120^\circ} \] Зная, что \(\cos{120^\circ} = -\frac{1}{2}\), получаем: \[ a \cdot b = 4 \cdot 1 \cdot -\frac{1}{2} = -2 \] Теперь подставим все найденные значения в формулу: \[ u \cdot v = 3 \cdot 16 + (-2) - 2 \cdot 1 = 48 - 2 - 2 = 44 \] Итак, скалярное произведение векторов \(u\) и \(v\) равняется 44.