Предмет: Математика
Раздел: Линейная алгебра, решение систем линейных уравнений.
Задано: Найдите систему ступенчатого вида, которая равносильна следующей системе: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 5, \\ 5x - 2y = 4. \end{cases} \]
Пояснение:
- Запишем систему: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 5, \\ 5x - 2y = 4. \end{cases} \] Наш первый шаг — избавиться от одной переменной в одном из уравнений. Для этого умножим первое уравнение на 5, а второе — на 2, чтобы коэффициенты при \(x\) стали одинаковыми: \[ \begin{cases} 5(2x + 3y) = 5 \cdot 5 \Rightarrow 10x + 15y = 25, \\ 2(5x - 2y) = 2 \cdot 4 \Rightarrow 10x - 4y = 8. \end{cases} \] Получаем систему: \[ \begin{cases} 10x + 15y = 25, \\ 10x - 4y = 8. \end{cases} \]
- Вычтем из первого уравнения второе, чтобы избавиться от переменной \(x\): \[ (10x + 15y) - (10x - 4y) = 25 - 8. \] Результат: \[ 10x - 10x + 15y + 4y = 17 \Rightarrow 19y = 17. \] Отсюда находим \(y\): \[ y = \frac{17}{19}. \]
- Подставим найденное значение \(y = \frac{17}{19}\) в одно из начальных уравнений, например, в первое: \[ 2x + 3\left(\frac{17}{19}\right) = 5. \] Преобразуем: \[ 2x + \frac{51}{19} = 5. \] Переведём 5 в дробь с знаменателем 19: \[ 2x + \frac{51}{19} = \frac{95}{19}. \] Теперь вычтем \( \frac{51}{19} \) из обеих частей уравнения: \[ 2x = \frac{95}{19} - \frac{51}{19} = \frac{44}{19}. \] Теперь найдём \(x\): \[ x = \frac{\frac{44}{19}}{2} = \frac{44}{19} \cdot \frac{1}{2} = \frac{22}{19}. \]
- Ответ. Решение системы: \[ x = \frac{22}{19}, \quad y = \frac{17}{19}. \] Мы решили систему уравнений, однако ступенчатая форма для этой системы - это та, где одно из уравнений уже выражает одну переменную, например: \[ \begin{cases} x = \frac{22}{19}, \\ y = \frac{17}{19}. \end{cases} \]
Мы решаем систему линейных уравнений методом приведения её к ступенчатому виду. Цель — упростить одно из уравнений так, чтобы в одном из них осталась только одна переменная \(x\) или \(y\), а потом подставить это в другое уравнение.