Найти решение системы и записать его в векторной форме

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Решение систем линейных уравнений

Дана система линейных уравнений:

 \begin{cases} 2x_1 + 7x_2 + 3x_3 + x_4 = 6, \ 3x_1 + 5x_2 + 2x_3 + 2x_4 = 4, \ 9x_1 + 4x_2 + x_3 + 7x_4 = 2. \end{cases} 

Нужно найти решение системы и записать его в векторной форме.

Шаг 1: Запись системы в матричной форме

Система уравнений переписывается в виде:
 AX = B, 
где
 A = \begin{pmatrix} 2 & 7 & 3 & 1 \ 3 & 5 & 2 & 2 \ 9 & 4 & 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 6 \ 4 \ 2 \end{pmatrix}. 

Шаг 2: Приведение к ступенчатому виду

Применяем метод Гаусса для упрощения матрицы A.

Начальная матрица:  \left(\begin{array}{cccc|c} 2 & 7 & 3 & 1 & 6 \ 3 & 5 & 2 & 2 & 4 \ 9 & 4 & 1 & 7 & 2 \end{array}\right). 

Шаг 1: Делим первую строку на 2 (для нормализации первого элемента):
 \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 3.5 & 1.5 & 0.5 & 3 \ 3 & 5 & 2 & 2 & 4 \ 9 & 4 & 1 & 7 & 2 \end{array}\right). 

Шаг 2: Вычитаем из второй строки первую, умноженную на 3, и из третьей строки первую, умноженную на 9:
 \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 3.5 & 1.5 & 0.5 & 3 \ 0 & -5.5 & -2.5 & 0.5 & -5 \ 0 & -27.5 & -12.5 & 2.5 & -25 \end{array}\right). 

Шаг 3: Делим вторую строку на -5.5:
 \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 3.5 & 1.5 & 0.5 & 3 \ 0 & 1 & \frac{5}{11} & -\frac{1}{11} & \frac{10}{11} \ 0 & -27.5 & -12.5 & 2.5 & -25 \end{array}\right). 

Шаг 4: Вычитаем из третьей строки вторую, умноженную на -27.5:
 \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 3.5 & 1.5 & 0.5 & 3 \ 0 & 1 & \frac{5}{11} & -\frac{1}{11} & \frac{10}{11} \ 0 & 0 & \frac{20}{11} & \frac{5}{11} & \frac{20}{11} \end{array}\right). 

Шаг 5: Делим третью строку на \frac{20}{11}:
 \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 3.5 & 1.5 & 0.5 & 3 \ 0 & 1 & \frac{5}{11} & -\frac{1}{11} & \frac{10}{11} \ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & 1 \end{array}\right). 

Шаг 6: Обратный ход Гаусса для приведения к окончательной форме:
 \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right). 

Шаг 3: Запись решения

Решение системы:
 X = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix}.