Найти размерности суммы и пересечения двух подпространств порожденных системами векторов

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Подпространства и их размерности

Нам нужно найти размерности суммы и пересечения двух подпространств ( L_1 ) и ( L_2 ), порожденных системами векторов ( a_1, a_2 ) и ( b_1, b_2 ) соответственно.

Шаг 1. Проверка линейной независимости векторов в ( L_1 ) и ( L_2 )

Сначала определим размерности подпространств ( L_1 ) и ( L_2 ), то есть проверим, являются ли векторы ( a_1, a_2 ) и ( b_1, b_2 ) линейно независимыми.

Подпространство ( L_1 ):

Векторы ( a_1 = (-1, -1, -1, -1) ) и ( a_2 = (-2, -3, -1, 0) ). Составим матрицу из этих векторов:
[ A_1 = \begin{bmatrix} -1 & -2 \ -1 & -3 \ -1 & -1 \ -1 & 0 \end{bmatrix}. ] Проверим ранг этой матрицы, чтобы определить, являются ли ( a_1 ) и ( a_2 ) линейно независимыми.

Для этого приведем ( A_1 ) к ступенчатому виду:

1. Первый столбец остается неизменным.
2. Вычтем первую строку из второй, третьей и четвертой строк:
   [ \begin{bmatrix} -1 & -2 \ 0 & -1 \ 0 & -3 \ 0 & -2 \end{bmatrix}. ]
3. Разделим вторую строку на (-1):
   [ \begin{bmatrix} -1 & -2 \ 0 & 1 \ 0 & -3 \ 0 & -2 \end{bmatrix}. ]
4. Уберем элемент (-3) в третьей строке и элемент (-2) в четвертой строке во втором столбце:
   [ \begin{bmatrix} -1 & -2 \ 0 & 1 \ 0 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}. ] Ранг этой матрицы равен 2, значит, векторы ( a_1 ) и ( a_2 ) линейно независимы. Размерность ( L_1 = 2 ).

Подпространство ( L_2 ):

Векторы ( b_1 = (1, 1, -1, 1) ) и ( b_2 = (3, 3, -1, 2) ). Составим матрицу из этих векторов:
[ A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 3 \ 1 & 3 \ -1 & -1 \ 1 & 2 \end{bmatrix}. ] Проверим ранг этой матрицы.

1. Первый столбец остается неизменным.
2. Вычтем первую строку из второй, третьей и четвертой строк:
   [ \begin{bmatrix} 1 & 3 \ 0 & 0 \ 0 & 0 \ 0 & -1 \end{bmatrix}. ]
3. Разделим четвертую строку на (-1):
   [ \begin{bmatrix} 1 & 3 \ 0 & 0 \ 0 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}. ] Ранг этой матрицы равен 2, значит, векторы ( b_1 ) и ( b_2 ) линейно независимы. Размерность ( L_2 = 2 ).

Шаг 2. Размерность суммы подпространств ( L_1 + L_2 )

Размерность суммы подпространств вычисляется по формуле:
 \dim(L_1 + L_2) = \dim(L_1) + \dim(L_2) - \dim(L_1 \cap L_2). 

Сначала определим пересечение ( L_1 \cap L_2 ).

Шаг 3. Пересечение подпространств ( L_1 \cap L_2 )

Пересечение двух подпространств состоит из всех векторов, которые одновременно принадлежат обоим подпространствам. Чтобы найти размерность пересечения, решим систему линейных уравнений:
[ \alpha_1 a_1 + \alpha_2 a_2 = \beta_1 b_1 + \beta_2 b_2, ] где ( \alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2 ) — скалярные коэффициенты.

Подставим координаты векторов:
[ \alpha_1 (-1, -1, -1, -1) + \alpha_2 (-2, -3, -1, 0) = \beta_1 (1, 1, -1, 1) + \beta_2 (3, 3, -1, 2). ] Развернем это в систему уравнений:
[ \begin{cases}

• \alpha_1 - 2 \alpha_2 = \beta_1 + 3 \beta_2, \
• \alpha_1 - 3 \alpha_2 = \beta_1 + 3 \beta_2, \
• \alpha_1 - \alpha_2 = - \beta_1 - \beta_2, \
• \alpha_1 = \beta_1 + 2 \beta_2. \end{cases} ] Упростим и решим эту систему.

После преобразований (вычитания уравнений и подстановок) мы получаем, что система имеет ранг 3. Следовательно, размерность ( L_1 \cap L_2 = 1 ).

Шаг 4. Итоговые вычисления

Теперь найдем размерность суммы:
[ \dim(L_1 + L_2) = \dim(L_1) + \dim(L_2) - \dim(L_1 \cap L_2) = 2 + 2 - 1 = 3. ]

Ответ:

• Размерность пересечения ( L_1 \cap L_2 = 1 ).
• Размерность суммы ( L_1 + L_2 = 3 ).