Найти размерность матрицы

Определение предмета и раздела:

Это задача из линейной алгебры, связанная с операциями с матрицами, в частности с умножением матриц.

Условие:

У нас даны следующие данные:

• $\text{(}A=BC\text{)}$, где:
• $\text{(}A\text{)}$ — матрица размером $\text{(}5\times 3\text{)}$,
• $\text{(}C\text{)}$ — матрица размером $\text{(}2\times 3\text{)}$,
• Нам нужно найти размерность матрицы $\text{(}B\text{)}$.

Решение:

Для начала вспомним, как происходит операция умножения матриц.

• Если $\text{(}B\text{)}$ — матрица размера $\text{(}m\times n\text{)}$,
• и $\text{(}C\text{)}$ — матрица размера $\text{(}p\times q\text{)}$, то их произведение $\text{(}BC\text{)}$ возможно только в том случае, если число столбцов матрицы $\text{(}B\text{)}$ (значение $\text{(}n\text{)}$) совпадает с числом строк матрицы $\text{(}C\text{)}$ (значение $\text{(}p\text{)}$). Тогда результат произведения $\text{(}BC\text{)}$ будет иметь размерность $\text{(}m\times q\text{)}$.

Анализ:

1. Дано, что:
   • Размерность матрицы $\text{(}A\text{)}$ равна $\text{(}5\times 3\text{)}$.
   • Размерность матрицы $\text{(}C\text{)}$ равна $\text{(}2\times 3\text{)}$.
   • Нам нужно определить размер матрицы $\text{(}B\text{)}$.
2. Производя умножение матриц $\text{(}B\text{)}$ и $\text{(}C\text{)}$, результат должен быть матрицей $\text{(}A\text{)}$ размерности $\text{(}5\times 3\text{)}$. Это нам подсказывает, что результат $\text{(}BC\text{)}$ должен иметь 5 строк и 3 столбца.
3. Размерность матрицы $\text{(}C\text{)}$ — $\text{(}2\times 3\text{)}$, значит, количество строк в $\text{(}C\text{)}$ равно 2. Таким образом, для того, чтобы можно было выполнить умножение $\text{(}B\times C\text{)}$, количество столбцов в $\text{(}B\text{)}$ должно быть равно 2 (совпадать с количеством строк в $\text{(}C\text{)}$).
4. Кроме того, произведение матриц должно дать результат с 5 строками, значит, количество строк матрицы $\text{(}B\text{)}$ — 5.

Итог:

Матрица $\text{(}B\text{)}$ должна иметь размерность $\text{(}5\times 2\text{)}$, чтобы умножение $\text{(}B\times C\text{)}$ дало матрицу размером $\text{(}5\times 3\text{)}$.

Проверка:

У нас:

• $\text{(}B\text{)}$ — размером $\text{(}5\times 2\text{)}$,
• $\text{(}C\text{)}$ — размером $\text{(}2\times 3\text{)}$.

При умножении $\text{(}B\times C\text{)}$ количество столбцов матрицы $\text{(}B\text{)}$ (2) совпадает с количеством строк в матрице $\text{(}C\text{)}$ (2), что делает умножение возможным. Результат умножения будет матрицей размером $\text{(}5\times 3\text{)}$, как и матрица $\text{(}A\text{)}$, что полностью соответствует условию.

Ответ: Матрица $\text{(}B\text{)}$ имеет размерность $\text{(}5\times 2\text{)}$.