Найти ранг транспонированной матрицы A^T

Определение предмета и раздела

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Ранг матрицы

Решение

Нам дана матрица:

 A = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 3 & 1 & 0 \ 1 & -2 & 1 & -4 & 2 \ 0 & 1 & -1 & 3 & 1 \ 4 & -7 & 4 & -4 & 5 \end{pmatrix} 

Требуется найти ранг транспонированной матрицы A^T.
Известно, что ранг матрицы и ранг её транспонированной матрицы совпадают, то есть:

 \text{rang}(A^T) = \text{rang}(A) 

Таким образом, достаточно найти ранг исходной матрицы A.
Для этого приведём её к ступенчатому виду методом элементарных преобразований строк.

1. Исходная матрица:
    \begin{pmatrix} 2 & -4 & 3 & 1 & 0 \ 1 & -2 & 1 & -4 & 2 \ 0 & 1 & -1 & 3 & 1 \ 4 & -7 & 4 & -4 & 5 \end{pmatrix} 

2. Преобразуем первую строку, сделав первый элемент равным 1 (разделим на 2):

 \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1.5 & 0.5 & 0 \ 1 & -2 & 1 & -4 & 2 \ 0 & 1 & -1 & 3 & 1 \ 4 & -7 & 4 & -4 & 5 \end{pmatrix} 

3. Вычтем первую строку из второй:

 \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1.5 & 0.5 & 0 \ 0 & 0 & -0.5 & -4.5 & 2 \ 0 & 1 & -1 & 3 & 1 \ 4 & -7 & 4 & -4 & 5 \end{pmatrix} 

4. Вычтем 4-кратную первую строку из последней:

 \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1.5 & 0.5 & 0 \ 0 & 0 & -0.5 & -4.5 & 2 \ 0 & 1 & -1 & 3 & 1 \ 0 & 1 & -2 & -6 & 5 \end{pmatrix} 

5. Видно, что вторая и четвёртая строки линейно зависимы. Исключим их и оставим только линейно независимые строки.

После приведения к ступенчатому виду видно, что ранг матрицы равен 3, следовательно:

 \text{rang}(A^T) = \text{rang}(A) = 3 

Ответ:

\text{rang}(A^T) = 3