Найти ранг матрицы В

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Ранг матрицы

Дана матрица:
 B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & 1 \ 2 & 4 & -3 & 1 \ 1 & 2 & 5 & 0 \end{pmatrix} 

Ранг матрицы — это максимальное количество линейно независимых строк (или столбцов). Найдём его с помощью элементарных преобразований.

1. Приведём матрицу к ступенчатому виду:

Начнем с первой строки, затем будем делать нули под первым элементом.

Вычтем из второй строки первую, умноженную на 2:  R_2 \to R_2 - 2R_1 

 B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & 1 \ 0 & 4 & -11 & -1 \ 1 & 2 & 5 & 0 \end{pmatrix} 

Вычтем из третьей строки первую:  R_3 \to R_3 - R_1 

 B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & 1 \ 0 & 4 & -11 & -1 \ 0 & 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} 

2. Обнулим элемент (2,2), приведём ко второму ведущему элементу:

Разделим вторую строку на 4:  R_2 \to \frac{1}{4} R_2 

 B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & 1 \ 0 & 1 & -\frac{11}{4} & -\frac{1}{4} \ 0 & 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} 

Обнулим элемент (3,2), вычтя из третьей строки вторую, умноженную на 2:  R_3 \to R_3 - 2R_2 

 B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & 1 \ 0 & 1 & -\frac{11}{4} & -\frac{1}{4} \ 0 & 0 & \frac{33}{4} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} 

3. Определяем ранг:

В матрице три ненулевые строки, следовательно, её ранг равен 3.

Ответ:
Ранг матрицы B равен 3.