Найти ранг матрицы для преобразования

Условие:

Найти ранг матрицы для преобразования

Решение:

Это задание относится к предмету "Высшая математика" и теме "Линейная алгебра", а точнее расчет ранга матрицы для линейных преобразований. Дано линейное преобразование: \[ \varphi(x_1, x_2, x_3) = (x_1 - x_2 + x_3, x_2 - x_1, x_3 - x_2 + 2x_1). \] Чтобы найти ранг матрицы преобразования, сначала найдем матрицу преобразования. В данном случае это будет матрица коэффициентов линейных комбинаций, входящих в выражения для \(\varphi\). Запишем выражения в виде: \[ (x_1 - x_2 + x_3) = 1 \cdot x_1 + (-1) \cdot x_2 + 1 \cdot x_3, \] \[ (x_2 - x_1) = -1 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2 + 0 \cdot x_3, \] \[ (x_3 - x_2 + 2x_1) = 2 \cdot x_1 + (-1) \cdot x_2 + 1 \cdot x_3. \] Таким образом, матрица преобразования выглядит так: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}. \] Чтобы найти ранг матрицы \(A\), приведем её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. Шаг 1: Начнем с первой строки: \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}. \] Шаг 2: Обнулим элементы второй и третьей строки под первым элементом первой строки. Для этого добавим первую строку к второй и вычтем две первые строки из третьей: \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}. \] Шаг 3: Теперь проведем аналогичную операцию для второй и третьей строки: \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \] Шаг 4: Приведем её к более упрощенному виду, если это возможно, но в данном случае блоки уже в удобной форме. Таким образом, ранг матрицы равен числу ненулевых строк в её ступенчатом виде, что равно 3. Ответ: ранг матрицы равен \(3\).