Найти ранг матрицы, то есть максимальный порядок ненулевого минора

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Ранг матрицы

Дана матрица:

 A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 2 \ -3 & 4 & 5 & 0 \ -3 & 17 & 10 & m \end{pmatrix} 

Найдем ее ранг, то есть максимальный порядок ненулевого минора.

1. Рассмотрим исходную матрицу. Она имеет размер 3 \times 4, следовательно, ее ранг может быть не больше 3.
2. Проверим, является ли определитель любой минор 3 \times 3 ненулевым. Если хотя бы один такой минор отличен от нуля, то ранг матрицы равен 3.

Рассмотрим минор, составленный из первых трех столбцов:

 M = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 \ -3 & 4 & 5 \ -3 & 17 & 10 \end{vmatrix} 

Вычислим его определитель:

 \begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 \ -3 & 4 & 5 \ -3 & 17 & 10 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \ 17 & 10 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 5 \ -3 & 10 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 4 \ -3 & 17 \end{vmatrix} 

Найдем определители вторых порядков:

 \begin{vmatrix} 4 & 5 \ 17 & 10 \end{vmatrix} = 4 \cdot 10 - 5 \cdot 17 = 40 - 85 = -45 

 \begin{vmatrix} -3 & 5 \ -3 & 10 \end{vmatrix} = (-3 \cdot 10) - (5 \cdot (-3)) = -30 + 15 = -15 

Подставляем:

 (-45) \cdot 1 - 3 \cdot (-15) = -45 + 45 = 0 

Этот минор оказался нулевым, значит, нужно проверить другие миноры порядка 3.

Рассмотрим минор, заменив последний столбец на четвёртый:

 M' = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \ -3 & 4 & 0 \ -3 & 17 & m \end{vmatrix} 

Его определитель равен:

 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 0 \ 17 & m \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 0 \ -3 & m \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 4 \ -3 & 17 \end{vmatrix} 

Вычислим:

 \begin{vmatrix} 4 & 0 \ 17 & m \end{vmatrix} = 4m - 0 = 4m 

 \begin{vmatrix} -3 & 0 \ -3 & m \end{vmatrix} = (-3m - 0) = -3m 

 \begin{vmatrix} -3 & 4 \ -3 & 17 \end{vmatrix} = (-3 \cdot 17) - (-3 \cdot 4) = -51 + 12 = -39 

Подставляем:

 1 \cdot 4m - 3 \cdot (-3m) + 2 \cdot (-39) = 4m + 9m - 78 = 13m - 78 

Чтобы ранг был 3, этот определитель должен быть ненулевым:

 13m - 78 \neq 0 

То есть:

 m \neq 6 

Вывод:

• Если m \neq 6, то ранг матрицы равен 3.
• Если m = 6, то ранг меньше 3 (нужно проверять миноры порядка 2).