Найти ранг матрицы

Определение ранга матрицы

Определение ранга матрицы — это задача из линейной алгебры, раздела математики. Ранг матрицы — это максимальное число линейно независимых строк (или столбцов) в данной матрице. Дана матрица: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & 1 \\ -3 & 6 & 3 & -3 \\ 2 & -4 & -2 & 2 \\ 1 & -2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]

Для решения задачи применим метод элементарных преобразований строк для приведения матрицы к ступенчатому виду.

1. На первом шаге оставляем первую строку без изменений: \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & 1 \\ -3 & 6 & 3 & -3 \\ 2 & -4 & -2 & 2 \\ 1 & -2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]
2. Добавим 3 первые строки ко второй строке и заменим полученным результатом вторую строку (R2 = R2 + 3*R1): \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & -4 & -2 & 2 \\ 1 & -2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]
3. Вычтем 2 первые строки из третьей строки и заменим полученным результатом третью строку (R3 = R3 - 2*R1): \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]
4. Вычтем первую строку из четвертой строки и заменим полученным результатом четвертую строку (R4 = R4 - R1): \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Таким образом, наша матрица приведена к ступенчатому виду: у нас осталась одна строка, не равная нулю. Все виды элементарных преобразований не изменяют ранг матрицы. Количество ненулевых строк в ступенчатой форме дает нам ранг матрицы. Итак, ранг матрицы \( A \) равен 1.