Найти работу силы по перемещению материальной точки вдоль участка кривой

Условие:

Найти работу силы f(x,y) по перемещению материальной точки вдоль участка кривой L. f(x,y)=6x2i+6(x+y)j L: x=t2,y=t,0⩽t⩽1 .

Решение:

### Предмет: Математика ### Раздел: Векторный анализ #### Решение задачи: Нам необходимо найти работу силы \( \mathbf{F}(x,y) \) по перемещению материальной точки вдоль кривой \( L \). #### Даны: \( \mathbf{F}(x,y) = 6x^2 \mathbf{i} + 6(x + y) \mathbf{j} \) Параметризация кривой: \[ x = t^2, \quad y = t, \quad 0 \leq t \leq 1 \] Работа силы определяется как интеграл скалярного произведения силы \( \mathbf{F} \) и дифференциала пути \( \mathbf{dr} \): \[ A = \int_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \] Найдем компоненты \( d\mathbf{r} \): \[ \mathbf{r}(t) = x(t) \mathbf{i} + y(t) \mathbf{j} = t^2 \mathbf{i} + t \mathbf{j} \] Дифференцируем: \[ d\mathbf{r} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} dt = \left( \frac{dx}{dt} \mathbf{i} + \frac{dy}{dt} \mathbf{j} \right) dt = \left( 2t \mathbf{i} + \mathbf{j} \right) dt \] Теперь подставляем \( x \) и \( y \) в силу \( \mathbf{F}(x,y) \): \[ \mathbf{F}(x(t), y(t)) = 6(t^2)^2 \mathbf{i} + 6(t^2 + t) \mathbf{j} = 6t^4 \mathbf{i} + 6(t^2 + t) \mathbf{j} \] Теперь выразим работу через интеграл: \[ A = \int_0^1 \mathbf{F}(x(t), y(t)) \cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt} dt \] Рассчитаем скалярное произведение \( \mathbf{F}(x(t), y(t)) \) и \( \frac{d\mathbf{r}}{dt} \): \[ \mathbf{F}(x(t), y(t)) \cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt} = (6t^4 \mathbf{i} + 6(t^2 + t) \mathbf{j}) \cdot (2t \mathbf{i} + \mathbf{j}) \] \[ = 6t^4 \cdot 2t + 6(t^2 + t) \cdot 1 \] \[ = 12t^5 + 6t^2 + 6t \] Составим интеграл: \[ A = \int_0^1 (12t^5 + 6t^2 + 6t) \, dt \] Теперь вычислим этот интеграл: \[ \int_0^1 (12t^5 + 6t^2 + 6t) \, dt = \int_0^1 12t^5 \, dt + \int_0^1 6t^2 \, dt + \int_0^1 6t \, dt \] Рассчитываем каждый по отдельности: \[ \int_0^1 12t^5 \, dt = 12 \left[\frac{t^6}{6} \right]_0^1 = 12 \cdot \frac{1}{6} = 2 \] \[ \int_0^1 6t^2 \, dt = 6 \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^1 = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2 \] \[ \int_0^1 6t \, dt = 6 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^1 = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \] Сложим результаты: \[ A = 2 + 2 + 3 = 7 \] Ответ: \[ 7 \]