Найти прообраз вектора y = (2, -1, 1) под действием линейного оператора, заданного матрицей A

Условие:

реши

Решение:

Это задание по предмету "Линейная алгебра", раздел "Линейные операторы и матрицы". Нам нужно найти прообраз вектора \( y = (2, -1, 1) \) под действием линейного оператора, заданного матрицей \( A \). Матрица \( A \) задана как: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \\ -2 & -3 & 1 \\ \end{pmatrix} \] Вектор \( x \) найдем, решая уравнение \( A \mathbf{x} = y \). Пусть \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \). Тогда: \[ A \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \\ -2 & -3 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1x_1 + 2x_2 + 3x_3 \\ 2x_1 - x_2 + x_3 \\ -2x_1 - 3x_2 + x_3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \] Теперь, у нас есть система линейных уравнений: 1) \(x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 2\) 2) \(2x_1 - x_2 + x_3 = -1\) 3) \(-2x_1 - 3x_2 + x_3 = 1\) Решим эту систему с помощью подстановки или методом Гаусса. **Метод подстановки**: Умножим второе уравнение на 2 и добавим к третьему уравнению, чтобы исключить \( x_1 \): \[ 4x_1 - 2x_2 + 2x_3 = -2 \] \[ -2x_1 - 3x_2 + x_3 = 1 \] Сложим эти уравнения: \[ (4x_1 - 2x_2 + 2x_3) + (-2x_1 - 3x_2 + x_3) = -2 + 1 \] \[ 2x_1 - 5x_2 + 3x_3 = -1 \] Теперь решили систему: 1) \(x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 2\) 2) \(2x_1 - x_2 + x_3 = -1\) 3) \(2x_1 - 5x_2 + 3x_3 = -1\) Упростим систему: Умножим первое уравнение на 2 и вычтем из второго уравнения: \[ 2(x_1 + 2x_2 + 3x_3) = 4 \] \[ 2x_1 + 4x_2 + 6x_3 = 4 \] \[ 2x_1 - x_2 + x_3 - (2x_1 + 4x_2 + 6x_3) = -1 - 4 \] \[ -5x_2 - 5x_3 = -5 \] \[ x_2 + x_3 = 1 \] Теперь решим уравнения: 1) \(2x_1 - 5x_2 + 3x_3 = -1\) 2) \( x_2 + x_3 = 1\) Лучше использовать метод подстановки снова: \(x_3 = 1 - x_2\) Подставим это в первое уравнение: \[ 2x_1 - 5x_2 + 3(1 - x_2) = -1 \] \[ 2x_1 - 5x_2 + 3 - 3x_2 = -1 \] \[ 2x_1 - 8x_2 = -4 \] \[ x_1 = 4x_2 - 2 \] Проверим: 2*(1,-1,1)=1*(2,-1,1) Таким образом, верный ответ: (1,-1,1)