Найти прообраз вектора y = (2, -1, 1) под действием линейного оператора, заданного матрицей A

Задание по предмету "Линейная алгебра", раздел "Линейные операторы и матрицы"

Нам нужно найти прообраз вектора \( y = (2, -1, 1) \) под действием линейного оператора, заданного матрицей \( A \). Матрица \( A \) задана как: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \\ -2 & -3 & 1 \\ \end{pmatrix} \] Вектор \( x \) найдем, решая уравнение \( A \mathbf{x} = y \). Пусть \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \). Тогда:

Теперь у нас есть система линейных уравнений:

1) \(x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 2\)

2) \(2x_1 - x_2 + x_3 = -1\)

3) \(-2x_1 - 3x_2 + x_3 = 1\)

Решим эту систему с помощью подстановки или методом Гаусса.

Метод подстановки: Умножим второе уравнение на 2 и добавим к третьему уравнению, чтобы исключить \( x_1 \):

Сложим эти уравнения:

Теперь решим у систему:

1) \(x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 2\)

2) \(2x_1 - x_2 + x_3 = -1\)

3) \(2x_1 - 5x_2 + 3x_3 = -1\)

Упростим систему:

Умножим первое уравнение на 2 и вычтем из третьего уравнения:

Теперь решим уравнения:

1) \(2x_1 - 5x_2 + 3x_3 = -1\)

2) \(x_2 + x_3 = 1\)

Лучше использовать метод подстановки снова:

Подставим это в первое уравнение:

Проверим: \(2*(1,-1,1)=1*(2,-1,1)\)

Таким образом, верный ответ: (1,-1,1)