Найти произведения матриц AB и BA, если это возможно

Условие:

Решить

Решение:

Определим предмет задания — линейная алгебра, а раздел — матрицы, их умножение и вычисление матричных многочленов. --- ### Задача 3. Найти произведения матриц \( AB \) и \( BA \), если это возможно. #### а) \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 5 & 1 \\ 6 & 1 & 5 \end{pmatrix}, \, B = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 6 & 2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \) Произведение матриц \( AB \) имеет размерность \( 3 \times 2 \), потому что \( A \) — матрица \( 3 \times 3 \), а \( B \) — матрица \( 3 \times 2 \). Выразим \( AB \): \[ AB = \begin{pmatrix} 1 \times 5 + 2 \times 6 + 3 \times 1 & 1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 5 \\ 3 \times 5 + 5 \times 6 + 1 \times 1 & 3 \times 1 + 5 \times 2 + 1 \times 5 \\ 6 \times 5 + 1 \times 6 + 5 \times 1 & 6 \times 1 + 1 \times 2 + 5 \times 5 \end{pmatrix} \] \[ AB = \begin{pmatrix} 5 + 12 + 3 & 1 + 4 + 15 \\ 15 + 30 + 1 & 3 + 10 + 5 \\ 30 + 6 + 5 & 6 + 2 + 25 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 & 20 \\ 46 & 18 \\ 41 & 33 \end{pmatrix} \] Следовательно, \[ AB = \begin{pmatrix} 20 & 20 \\ 46 & 18 \\ 41 & 33 \end{pmatrix} \] Теперь проверим возможность умножения \( BA \). Матрица \( B \) имеет размер \( 3 \times 2 \), а матрица \( A \) — размер \( 3 \times 3 \). Умножение матриц этих размеров невозможно, так как число столбцов в \( B \) не равно числу строк в \( A \). **Ответ к пункту а**: - \( AB = \begin{pmatrix} 20 & 20 \\ 46 & 18 \\ 41 & 33 \end{pmatrix} \) - \( BA \) — умножение невозможно. #### б) \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 3 & -2 \\ 4 & 2 & 4 \end{pmatrix}, \, B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -2 \\ -2 & -1 & 5 \end{pmatrix} \) Найдем произведение \( AB \): \[ AB = \begin{pmatrix} 1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times (-2) & 1 \times 1 + 2 \times 3 + 3 \times (-1) & 1 \times 1 + 2 \times (-2) + 3 \times 5 \\ -2 \times 1 + 3 \times 2 + (-2) \times (-2) & -2 \times 1 + 3 \times 3 + (-2) \times (-1) & -2 \times 1 + 3 \times (-2) + (-2) \times 5 \\ 4 \times 1 + 2 \times 2 + 4 \times (-2) & 4 \times 1 + 2 \times 3 + 4 \times (-1) & 4 \times 1 + 2 \times (-2) + 4 \times 5 \end{pmatrix} \] \[ AB = \begin{pmatrix} 1 + 4 - 6 & 1 + 6 - 3 & 1 - 4 + 15 \\ -2 + 6 + 4 & -2 + 9 + 2 & -2 - 6 - 10 \\ 4 + 4 - 8 & 4 + 6 - 4 & 4 - 4 + 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 4 & 12 \\ 8 & 9 & -18 \\ 0 & 6 & 20 \end{pmatrix} \] Теперь найдем \( BA \): \[ BA = \begin{pmatrix} 1 \times 1 + 1 \times (-2) + 1 \times 4 & 1 \times 2 + 1 \times 3 + 1 \times 2 & 1 \times 3 + 1 \times (-2) + 1 \times 4 \\ 2 \times 1 + 3 \times (-2) + (-2) \times 4 & 2 \times 2 + 3 \times 3 + (-2) \times 2 & 2 \times 3 + 3 \times (-2) + (-2) \times 4 \\ -2 \times 1 + (-1) \times (-2) + 5 \times 4 & -2 \times 2 + (-1) \times 3 + 5 \times 2 & -2 \times 3 + (-1) \times (-2) + 5 \times 4 \end{pmatrix} \] \[ BA = \begin{pmatrix} 1 - 2 + 4 & 2 + 3 + 2 & 3 - 2 + 4 \\ 2 - 6 - 8 & 4 + 9 - 4 & 6 - 6 - 8 \\ -2 + 2 + 20 & -4 - 3 + 10 & -6 + 2 + 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 7 & 5 \\ -12 & 9 & -8 \\ 20 & 3 & 16 \end{pmatrix} \] **Ответ к пункту б**: - \( AB = \begin{pmatrix} -1 & 4 & 12 \\ 8 & 9 & -18 \\ 0 & 6 & 20 \end{pmatrix} \) - \( BA = \begin{pmatrix} 3 & 7 & 5 \\ -12 & 9 & -8 \\ 20 & 3 & 16 \end{pmatrix} \) #### в) \( A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -2 & 3 & 0 \\ 4 & -1 & 5 \end{pmatrix}, \, B = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix} \) Найдем произведение \( AB \): \[ AB = \begin{pmatrix} 2 \times (-3) + 0 \times 0 + 1 \times 0 & 2 \times 1 + 0 \times 2 + 1 \times (-1) & 2 \times 0 + 0 \times 1 + 1 \times 3 \\ -2 \times (-3) + 3 \times 0 + 0 \times 0 & -2 \times 1 + 3 \times 2 + 0 \times (-1) & -2 \times 0 + 3 \times 1 + 0 \times 3 \\ 4 \times (-3) + (-1) \times 0 + 5 \times 0 & 4 \times 1 + (-1) \times 2 + 5 \times (-1) & 4 \times 0 + (-1) \times 1 + 5 \times 3 \end{pmatrix} \] \[ AB = \begin{pmatrix} -6 + 0 + 0 & 2 + 0 - 1 & 0 + 0 + 3 \\ 6 + 0 + 0 & -2 + 6 + 0 & 0 + 3 + 0 \\ -12 + 0 + 0 & 4 - 2 - 5 & 0 - 1 + 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & 1 & 3 \\ 6 & 4 & 3 \\ -12 & -3 & 14 \end{pmatrix} \] Теперь найдем \( BA \): \[ BA = \begin{pmatrix} -3 \times 2 + 1 \times (-2) + 0 \times 4 & -3 \times 0 + 1 \times 3 + 0 \times (-1) & -3 \times 1 + 1 \times 0 + 0 \times 5 \\ 0 \times 2 + 2 \times (-2) + 1 \times 4 & 0 \times 0 + 2 \times 3 + 1 \times (-1) & 0 \times 1 + 2 \times 0 + 1 \times 5 \\ 0 \times 2 + (-1) \times (-2) + 3 \times 4 & 0 \times 0 + (-1) \times 3 + 3 \times (-1) & 0 \times 1 + (-1) \times 0 + 3 \times 5 \end{pmatrix} \] \[ BA = \begin{pmatrix} -6 - 2 + 0 & 0 + 3 + 0 & -3 + 0 + 0 \\ 0 - 4 + 4 & 0 + 6 - 1 & 0 + 0 + 5 \\ 0 + 2 + 12 & 0 - 3 - 3 & 0 + 0 + 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 & 3 & -3 \\ 0 & 5 & 5 \\ 14 & -6 & 15 \end{pmatrix} \] **Ответ к пункту в**: - \( AB = \begin{pmatrix} -6 & 1 & 3 \\ 6 & 4 & 3 \\ -12 & -3 & 14 \end{pmatrix} \) - \( BA = \begin{pmatrix} -8 & 3 & -3 \\ 0 & 5 & 5 \\ 14 & -6 & 15 \end{pmatrix} \) --- ### Задача 4 Даны матрицы \( A = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \, B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \, X = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \, Y = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \). Найти: 1. \( AB \) 2. \( BX \) 3. \( AY \) 4. Показать, что \( A \) является корнем многочлена \( f(x) = x^2 - 4x - 9 \). --- ### Задача 5 Найти произведения матриц \( AB, BA, C^T B \) и другие, которые имеют смысл. --- ### Задача 6 Найти значения матричных многочленов \( f(A) \)