Найти произведения матриц

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Матрицы и операции над ними

Задание: Найти произведения матриц ( A A^T ) и ( A^T A ), где матрица ( A ) задана как:

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \ 3 & -2 \end{pmatrix}.

Шаг 1: Найдем ( A^T ) (транспонированную матрицу ( A ))

При транспонировании строки матрицы становятся столбцами. Для матрицы ( A ):

A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \ -1 & -2 \end{pmatrix}.

Шаг 2: Вычислим ( A A^T )

Произведение ( A A^T ) вычисляется как произведение матрицы ( A ) на её транспонированную матрицу ( A^T ). Формула:

A A^T = \begin{pmatrix} 1 & -1 \ 3 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 \ -1 & -2 \end{pmatrix}.

Выполним умножение:

1. Первая строка на первый столбец:
   1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) = 1 + 1 = 2.

2. Первая строка на второй столбец:
   1 \cdot 3 + (-1) \cdot (-2) = 3 + 2 = 5.

3. Вторая строка на первый столбец:
   3 \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) = 3 + 2 = 5.

4. Вторая строка на второй столбец:
   3 \cdot 3 + (-2) \cdot (-2) = 9 + 4 = 13.

Итак, результат:

A A^T = \begin{pmatrix} 2 & 5 \ 5 & 13 \end{pmatrix}.

Шаг 3: Вычислим ( A^T A )

Произведение ( A^T A ) вычисляется как произведение транспонированной матрицы ( A^T ) на исходную матрицу ( A ). Формула:

A^T A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \ -1 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \ 3 & -2 \end{pmatrix}.

Выполним умножение:

1. Первая строка на первый столбец:
   1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 = 1 + 9 = 10.

2. Первая строка на второй столбец:
   1 \cdot (-1) + 3 \cdot (-2) = -1 - 6 = -7.

3. Вторая строка на первый столбец:
   -1 \cdot 1 + (-2) \cdot 3 = -1 - 6 = -7.

4. Вторая строка на второй столбец:
   -1 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-2) = 1 + 4 = 5.

Итак, результат:

A^T A = \begin{pmatrix} 10 & -7 \ -7 & 5 \end{pmatrix}.

Ответ:

1. A A^T = \begin{pmatrix} 2 & 5 \ 5 & 13 \end{pmatrix}.
2. A^T A = \begin{pmatrix} 10 & -7 \ -7 & 5 \end{pmatrix}.