Данное задание относится к предмету линейная алгебра и разделу матричные операции и многочлены от матриц.
В этом задании нужно выполнить несколько действий:
- Найти произведение матриц \( AB \).
- Найти произведение матрицы \( B \) на вектор \( X \) и матрицы \( A \) на вектор \( Y \).
- Показать, что матрица \( A \) является корнем многочлена \( f(x) = x^2 - 4x - 9 \).
Шаг 1: Найдем произведение матриц \( AB \)
Матричное умножение выполняется так, что элемент в \( i \)-й строке и \( j \)-й колонке результирующей матрицы равен сумме попарных произведений элементов \( i \)-й строки первой матрицы и \( j \)-й колонки второй матрицы.
Даны матрицы:
\[
A = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}
\]
Найдем элементы матрицы \( AB \):
- Первую строку матрицы \( A \) умножим на первый столбец матрицы \( B \):
\[
(3 \cdot 1 + 6 \cdot 0, \; 3 \cdot 0 + 6 \cdot (-1), \; 3 \cdot 3 + 6 \cdot 2) = (3, -6, 27)
\]
- Вторую строку матрицы \( A \) умножим на первый столбец матрицы \( B \):
\[
(2 \cdot 1 + 1 \cdot 0, \; 2 \cdot 0 + 1 \cdot (-1), \; 2 \cdot 3 + 1 \cdot 2) = (2, -1, 8)
\]
Таким образом, произведение \( AB \) дает матрицу:
\[
AB = \begin{pmatrix} 3 & -6 & 27 \\ 2 & -1 & 8 \end{pmatrix}
\]
Шаг 2: Найдем \( BX \)
Даны матрица \( B \) и вектор \( X \):
\[
B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}
\]
Чтобы найти произведение \( BX \), нужно умножить матрицу \( B \) на вектор \( X \).
- Умножаем первую строку матрицы \( B \) на вектор \( X \):
\[
(1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 3 \cdot (-1)) = 1 - 3 = -2
\]
- Умножаем вторую строку матрицы \( B \) на вектор \( X \):
\[
(0 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-1)) = -1 - 2 = -3
\]
Таким образом, произведение \( BX \) это:
\[
BX = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix}
\]
Шаг 3: Найдем \( AY \)
Даны матрица \( A \) и вектор \( Y \):
\[
A = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}
\]
Найдем произведение матрицы \( A \) на вектор \( Y \):
- Умножаем первую строку матрицы \( A \) на вектор \( Y \):
\[
(3 \cdot 1 + 6 \cdot (-1)) = 3 - 6 = -3
\]
- Умножаем вторую строку матрицы \( A \) на вектор \( Y \):
\[
(2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1)) = 2 - 1 = 1
\]
В результате получаем:
\[
AY = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}
\]
Шаг 4: Показать, что \( A \) — корень многочлена \( f(x) = x^2 - 4x - 9 \)
Для этого нужно проверить, что подстановка матрицы \( A \) в многочлен \( f(x) = x^2 - 4x - 9 \) дает нулевую матрицу:
\[
f(A) = A^2 - 4A - 9I = 0
\]
Где \( I \) — это единичная матрица размерности 2x2:
\[
I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\]
- Найдём квадрат матрицы \( A^2 \):
\[
A^2 = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3 \cdot 3 + 6 \cdot 2) & (3 \cdot 6 + 6 \cdot 1) \\ (2 \cdot 3 + 1 \cdot 2) & (2 \cdot 6 + 1 \cdot 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21 & 24 \\ 8 & 13 \end{pmatrix}
\]
- Найдем \( 4A \):
\[
4A = 4 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 24 \\ 8 & 4 \end{pmatrix}
\]
- Найдём \( 9I \):
\[
9I = 9 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}
\]
Теперь проверим равенство:
\[
A^2 - 4A - 9I = \begin{pmatrix} 21 & 24 \\ 8 & 13 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 & 24 \\ 8 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\]
Итоговые ответы:
- \( AB = \begin{pmatrix} 3 & -6 & 27 \\ 2 & -1 & 8 \end{pmatrix} \)
- \( BX = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix} \)
- \( AY = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix} \)
- Матрица \( A \) является корнем многочлена \( f(x) = x^2 - 4x - 9 \)
Получили нулевую матрицу, значит, матрица \( A \) действительно является корнем многочлена \( f(x) = x^2 - 4x - 9 \).