Найти произведение матриц AB. 2. Найти произведение матрицы B на вектор X и матрицы A на вектор Y. 3. Показать, что матрица A является корнем многочлена

Данное задание относится к предмету линейная алгебра и разделу матричные операции и многочлены от матриц.

В этом задании нужно выполнить несколько действий:

  1. Найти произведение матриц \( AB \).
  2. Найти произведение матрицы \( B \) на вектор \( X \) и матрицы \( A \) на вектор \( Y \).
  3. Показать, что матрица \( A \) является корнем многочлена \( f(x) = x^2 - 4x - 9 \).
Шаг 1: Найдем произведение матриц \( AB \)

Матричное умножение выполняется так, что элемент в \( i \)-й строке и \( j \)-й колонке результирующей матрицы равен сумме попарных произведений элементов \( i \)-й строки первой матрицы и \( j \)-й колонки второй матрицы.

Даны матрицы:

\[ A = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} \]

Найдем элементы матрицы \( AB \):

  1. Первую строку матрицы \( A \) умножим на первый столбец матрицы \( B \):
    \[ (3 \cdot 1 + 6 \cdot 0, \; 3 \cdot 0 + 6 \cdot (-1), \; 3 \cdot 3 + 6 \cdot 2) = (3, -6, 27) \]
  2. Вторую строку матрицы \( A \) умножим на первый столбец матрицы \( B \):
    \[ (2 \cdot 1 + 1 \cdot 0, \; 2 \cdot 0 + 1 \cdot (-1), \; 2 \cdot 3 + 1 \cdot 2) = (2, -1, 8) \]

Таким образом, произведение \( AB \) дает матрицу:

\[ AB = \begin{pmatrix} 3 & -6 & 27 \\ 2 & -1 & 8 \end{pmatrix} \]
Шаг 2: Найдем \( BX \)

Даны матрица \( B \) и вектор \( X \):

\[ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \]

Чтобы найти произведение \( BX \), нужно умножить матрицу \( B \) на вектор \( X \).

  • Умножаем первую строку матрицы \( B \) на вектор \( X \):
    \[ (1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 3 \cdot (-1)) = 1 - 3 = -2 \]
  • Умножаем вторую строку матрицы \( B \) на вектор \( X \):
    \[ (0 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-1)) = -1 - 2 = -3 \]

Таким образом, произведение \( BX \) это:

\[ BX = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix} \]
Шаг 3: Найдем \( AY \)

Даны матрица \( A \) и вектор \( Y \):

\[ A = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \]

Найдем произведение матрицы \( A \) на вектор \( Y \):

  • Умножаем первую строку матрицы \( A \) на вектор \( Y \):
    \[ (3 \cdot 1 + 6 \cdot (-1)) = 3 - 6 = -3 \]
  • Умножаем вторую строку матрицы \( A \) на вектор \( Y \):
    \[ (2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1)) = 2 - 1 = 1 \]

В результате получаем:

\[ AY = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix} \]
Шаг 4: Показать, что \( A \) — корень многочлена \( f(x) = x^2 - 4x - 9 \)

Для этого нужно проверить, что подстановка матрицы \( A \) в многочлен \( f(x) = x^2 - 4x - 9 \) дает нулевую матрицу:

\[ f(A) = A^2 - 4A - 9I = 0 \]

Где \( I \) — это единичная матрица размерности 2x2:

\[ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
  1. Найдём квадрат матрицы \( A^2 \):
    \[ A^2 = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3 \cdot 3 + 6 \cdot 2) & (3 \cdot 6 + 6 \cdot 1) \\ (2 \cdot 3 + 1 \cdot 2) & (2 \cdot 6 + 1 \cdot 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21 & 24 \\ 8 & 13 \end{pmatrix} \]
  2. Найдем \( 4A \):
    \[ 4A = 4 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 24 \\ 8 & 4 \end{pmatrix} \]
  3. Найдём \( 9I \):
    \[ 9I = 9 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} \]

Теперь проверим равенство:

\[ A^2 - 4A - 9I = \begin{pmatrix} 21 & 24 \\ 8 & 13 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 & 24 \\ 8 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \]
Итоговые ответы:
  • \( AB = \begin{pmatrix} 3 & -6 & 27 \\ 2 & -1 & 8 \end{pmatrix} \)
  • \( BX = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix} \)
  • \( AY = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix} \)
  • Матрица \( A \) является корнем многочлена \( f(x) = x^2 - 4x - 9 \)

Получили нулевую матрицу, значит, матрица \( A \) действительно является корнем многочлена \( f(x) = x^2 - 4x - 9 \).

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн