Найти произведение матриц AB. 2. Найти произведение матрицы B на вектор X и матрицы A на вектор Y. 3. Показать, что матрица A является корнем многочлена

Данное задание относится к предмету линейная алгебра и разделу матричные операции и многочлены от матриц.

В этом задании нужно выполнить несколько действий:

1. Найти произведение матриц $\text{(}AB\text{)}$.
2. Найти произведение матрицы $\text{(}B\text{)}$ на вектор $\text{(}X\text{)}$ и матрицы $\text{(}A\text{)}$ на вектор $\text{(}Y\text{)}$.
3. Показать, что матрица $\text{(}A\text{)}$ является корнем многочлена $\text{(}f(x)=x^2-4x-9\text{)}$.

Шаг 1: Найдем произведение матриц $\text{(}AB\text{)}$

Матричное умножение выполняется так, что элемент в $\text{(}i\text{)}$-й строке и $\text{(}j\text{)}$-й колонке результирующей матрицы равен сумме попарных произведений элементов $\text{(}i\text{)}$-й строки первой матрицы и $\text{(}j\text{)}$-й колонки второй матрицы.

Даны матрицы:

Найдем элементы матрицы $\text{(}AB\text{)}$:

1. Первую строку матрицы $\text{(}A\text{)}$ умножим на первый столбец матрицы $\text{(}B\text{)}$:
   $\text{[}(3\cdot 1+6\cdot 0,3\cdot 0+6\cdot (-1),3\cdot 3+6\cdot 2)=(3,-6,27)\text{]}$
2. Вторую строку матрицы $\text{(}A\text{)}$ умножим на первый столбец матрицы $\text{(}B\text{)}$:
   $\text{[}(2\cdot 1+1\cdot 0,2\cdot 0+1\cdot (-1),2\cdot 3+1\cdot 2)=(2,-1,8)\text{]}$

Таким образом, произведение $\text{(}AB\text{)}$ дает матрицу:

Шаг 2: Найдем $\text{(}BX\text{)}$

Даны матрица $\text{(}B\text{)}$ и вектор $\text{(}X\text{)}$:

Чтобы найти произведение $\text{(}BX\text{)}$, нужно умножить матрицу $\text{(}B\text{)}$ на вектор $\text{(}X\text{)}$.

• Умножаем первую строку матрицы $\text{(}B\text{)}$ на вектор $\text{(}X\text{)}$:
  $\text{[}(1\cdot 1+0\cdot 1+3\cdot (-1))=1-3=-2\text{]}$
• Умножаем вторую строку матрицы $\text{(}B\text{)}$ на вектор $\text{(}X\text{)}$:
  $\text{[}(0\cdot 1+(-1)\cdot 1+2\cdot (-1))=-1-2=-3\text{]}$

Таким образом, произведение $\text{(}BX\text{)}$ это:

Шаг 3: Найдем $\text{(}AY\text{)}$

Даны матрица $\text{(}A\text{)}$ и вектор $\text{(}Y\text{)}$:

Найдем произведение матрицы $\text{(}A\text{)}$ на вектор $\text{(}Y\text{)}$:

• Умножаем первую строку матрицы $\text{(}A\text{)}$ на вектор $\text{(}Y\text{)}$:
  $\text{[}(3\cdot 1+6\cdot (-1))=3-6=-3\text{]}$
• Умножаем вторую строку матрицы $\text{(}A\text{)}$ на вектор $\text{(}Y\text{)}$:
  $\text{[}(2\cdot 1+1\cdot (-1))=2-1=1\text{]}$

В результате получаем:

Шаг 4: Показать, что $\text{(}A\text{)}$ — корень многочлена $\text{(}f(x)=x^2-4x-9\text{)}$

Для этого нужно проверить, что подстановка матрицы $\text{(}A\text{)}$ в многочлен $\text{(}f(x)=x^2-4x-9\text{)}$ дает нулевую матрицу:

Где $\text{(}I\text{)}$ — это единичная матрица размерности 2x2:

1. Найдём квадрат матрицы $\text{(}{A}^2\text{)}$:
   $\text{[}{A}^2=\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 2& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}(3\cdot 3+6\cdot 2)& (3\cdot 6+6\cdot 1)\\ (2\cdot 3+1\cdot 2)& (2\cdot 6+1\cdot 1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}21& 24\\ 8& 13\end{array}\right)\text{]}$
2. Найдем $\text{(}4A\text{)}$:
   $\text{[}4A=4\cdot \left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}12& 24\\ 8& 4\end{array}\right)\text{]}$
3. Найдём $\text{(}9I\text{)}$:
   $\text{[}9I=9\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}9& 0\\ 0& 9\end{array}\right)\text{]}$

Теперь проверим равенство:

Итоговые ответы:

• $\text{(}AB=\left(\begin{array}{ccc}3& -6& 27\\ 2& -1& 8\end{array}\right)\text{)}$
• $\text{(}BX=\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\end{array}\right)\text{)}$
• $\text{(}AY=\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\end{array}\right)\text{)}$
• Матрица $\text{(}A\text{)}$ является корнем многочлена $\text{(}f(x)=x^2-4x-9\text{)}$

Получили нулевую матрицу, значит, матрица $\text{(}A\text{)}$ действительно является корнем многочлена $\text{(}f(x)=x^2-4x-9\text{)}$.