Найти произведение матриц AB. 2. Найти произведение матрицы B на вектор X и матрицы A на вектор Y. 3. Показать, что матрица A является корнем многочлена

Условие:

Решить

Решение:

Данное задание относится к предмету **линейная алгебра** и разделу **матричные операции и многочлены от матриц**. В этом задании нужно выполнить несколько действий: 1. Найти произведение матриц \( AB \). 2. Найти произведение матрицы \( B \) на вектор \( X \) и матрицы \( A \) на вектор \( Y \). 3. Показать, что матрица \( A \) является корнем многочлена \( f(x) = x^2 - 4x - 9 \). ### Шаг 1: Найдем произведение матриц \( AB \) Матричное умножение выполняется так, что элемент в \( i \)-й строке и \( j \)-й колонке результирующей матрицы равен сумме попарных произведений элементов \( i \)-й строки первой матрицы и \( j \)-й колонки второй матрицы. Даны матрицы: \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} \] Найдем элементы матрицы \( AB \): 1. Первую строку матрицы \( A \) умножим на первый столбец матрицы \( B \): \[ (3 \cdot 1 + 6 \cdot 0, \; 3 \cdot 0 + 6 \cdot (-1), \; 3 \cdot 3 + 6 \cdot 2) = (3, -6, 27) \] 2. Вторую строку матрицы \( A \) умножим на первый столбец матрицы \( B \): \[ (2 \cdot 1 + 1 \cdot 0, \; 2 \cdot 0 + 1 \cdot (-1), \; 2 \cdot 3 + 1 \cdot 2) = (2, -1, 8) \] Таким образом, произведение \( AB \) дает матрицу: \[ AB = \begin{pmatrix} 3 & -6 & 27 \\ 2 & -1 & 8 \end{pmatrix} \] ### Шаг 2: Найдем \( BX \) Даны матрица \( B \) и вектор \( X \): \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \] Чтобы найти произведение \( BX \), нужно умножить матрицу \( B \) на вектор \( X \). - Умножаем первую строку матрицы \( B \) на вектор \( X \): \[ (1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 3 \cdot (-1)) = 1 - 3 = -2 \] - Умножаем вторую строку матрицы \( B \) на вектор \( X \): \[ (0 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-1)) = -1 - 2 = -3 \] Таким образом, произведение \( BX \) это: \[ BX = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix} \] ### Шаг 3: Найдем \( AY \) Даны матрица \( A \) и вектор \( Y \): \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \] Найдем произведение матрицы \( A \) на вектор \( Y \): - Умножаем первую строку матрицы \( A \) на вектор \( Y \): \[ (3 \cdot 1 + 6 \cdot (-1)) = 3 - 6 = -3 \] - Умножаем вторую строку матрицы \( A \) на вектор \( Y \): \[ (2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1)) = 2 - 1 = 1 \] В результате получаем: \[ AY = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix} \] ### Шаг 4: Показать, что \( A \) — корень многочлена \( f(x) = x^2 - 4x - 9 \) Для этого нужно проверить, что подстановка матрицы \( A \) в многочлен \( f(x) = x^2 - 4x - 9 \) дает нулевую матрицу: \[ f(A) = A^2 - 4A - 9I = 0 \] Где \( I \) — это единичная матрица размерности 2x2: \[ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] 1. Найдём квадрат матрицы \( A^2 \): \[ A^2 = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3 \cdot 3 + 6 \cdot 2) & (3 \cdot 6 + 6 \cdot 1) \\ (2 \cdot 3 + 1 \cdot 2) & (2 \cdot 6 + 1 \cdot 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21 & 24 \\ 8 & 13 \end{pmatrix} \] 2. Найдем \( 4A \): \[ 4A = 4 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 24 \\ 8 & 4 \end{pmatrix} \] 3. Найдём \( 9I \): \[ 9I = 9 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} \] Теперь проверим рaвенство: \[ A^2 - 4A - 9I = \begin{pmatrix} 21 & 24 \\ 8 & 13 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 & 24 \\ 8 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] Получили **нулевую матрицу**, значит, матрица \( A \) действительно является корнем многочлена \( f(x) = x^2 - 4x - 9 \). ### Итоговые ответы: - \( AB = \begin{pmatrix} 3 & -6 & 27 \\ 2 & -1 & 8 \end{pmatrix} \) - \( BX = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix} \) - \( AY = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix} \) - Матрица \( A \) является корнем многочлена \( f(x) = x^2 - 4x - 9 \)