Найти произведение двух матриц

Данное задание относится к предмету линейная алгебра. Это раздел математики, в котором изучаются векторы, матрицы и системы линейных уравнений. В данном случае нам поручено найти произведение двух матриц \( A \) и \( B \), то есть перемножить их.

Шаги решения:

Произведение матриц \( AB \) вычисляется по следующему правилу: элемент матрицы \( AB \) с индексами \( (i, j) \) находится как сумма произведений элементов \( i \)-й строки матрицы \( A \) на соответствующие элементы \( j \)-го столбца матрицы \( B \). Матрица \( A \) имеет размер \( 3 \times 3 \), матрица \( B \) также имеет размер \( 3 \times 3 \). Следовательно, результатом произведения будет матрица размерности \( 3 \times 3 \).

Даны две матрицы:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -4 & 1 \\ 4 & -3 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -4 \\ 2 & 5 & -3 \\ 4 & -3 & 2 \end{pmatrix}. \]

Находим произведение \( AB \):

1. Первый элемент \( AB_{11} \) (первая строка первой колонки): \[ AB_{11} = 1 \times 1 + 1 \times 2 + (-1) \times 4 = 1 + 2 - 4 = -1. \]
2. Второй элемент \( AB_{12} \) (первая строка второй колонки): \[ AB_{12} = 1 \times 0 + 1 \times 5 + (-1) \times -3 = 0 + 5 + 3 = 8. \]
3. Третий элемент \( AB_{13} \) (первая строка третьей колонки): \[ AB_{13} = 1 \times (-4) + 1 \times (-3) + (-1) \times 2 = -4 - 3 - 2 = -9. \]
4. Четвертый элемент \( AB_{21} \) (вторая строка первой колонки): \[ AB_{21} = 2 \times 1 + (-4) \times 2 + 1 \times 4 = 2 - 8 + 4 = -2. \]
5. Пятый элемент \( AB_{22} \) (вторая строка второй колонки): \[ AB_{22} = 2 \times 0 + (-4) \times 5 + 1 \times (-3) = 0 - 20 - 3 = -23. \]
6. Шестой элемент \( AB_{23} \) (вторая строка третьей колонки): \[ AB_{23} = 2 \times (-4) + (-4) \times (-3) + 1 \times 2 = -8 + 12 + 2 = 6. \]
7. Седьмой элемент \( AB_{31} \) (третья строка первой колонки): \[ AB_{31} = 4 \times 1 + (-3) \times 2 + 1 \times 4 = 4 - 6 + 4 = 2. \]
8. Восьмой элемент \( AB_{32} \) (третья строка второй колонки): \[ AB_{32} = 4 \times 0 + (-3) \times 5 + 1 \times (-3) = 0 - 15 - 3 = -18. \]
9. Девятый элемент \( AB_{33} \) (третья строка третьей колонки): \[ AB_{33} = 4 \times (-4) + (-3) \times (-3) + 1 \times 2 = -16 + 9 + 2 = -5. \]

Ответ:

\[ AB = \begin{pmatrix} -1 & 8 & -9 \\ -2 & -23 & 6 \\ 2 & -18 & -5 \end{pmatrix}. \]

Произведение матриц \( A \) и \( B \) равно: