Найти проекцию вектора ABна вектор AC

Предмет: линейная алгебра (геометрия, векторы).

Раздел: Векторные операции (проекция векторов).

Задание: Найти проекцию вектора AB на вектор AC, если \( A(-4; 3; 0) \), \( B(0; 1; 3) \), и \( C(-2; 4; -2) \).

Шаг 1: Найдем координаты векторов

1. \(\vec{AB} = B - A = (0 - (-4); 1 - 3; 3 - 0) = (4; -2; 3)\)
2. \(\vec{AC} = C - A = (-2 - (-4); 4 - 3; -2 - 0) = (2; 1; -2)\)

Теперь у нас есть вектора:

• \(\vec{AB} = (4; -2; 3)\)
• \(\vec{AC} = (2; 1; -2)\)

Шаг 2: Найдем скалярное произведение векторов

Формула скалярного произведения: \[\vec{AB} \cdot \vec{AC} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2\]

Подставим значения: \[\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 + 3 \cdot (-2) = 8 - 2 - 6 = 0\]

Шаг 3: Найдем квадрат длины вектора \(\vec{AC}\)

Формула для длины вектора (квадрат длины): \[|\vec{AC}|^2 = x^2 + y^2 + z^2\]

Посчитаем квадрат длины \(\vec{AC}\): \[|\vec{AC}|^2 = 2^2 + 1^2 + (-2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9\]

Шаг 4: Найдем проекцию вектора \(\vec{AB}\) на \(\vec{AC}\)

Формула для проекции вектора \(\vec{AB}\) на \(\vec{AC}\): \[\text{Проекция} = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AC}|^2} \cdot \vec{AC}\]

Ответ: Проекция вектора AB на вектор AC равна (0; 0; 0).

Подставляем найденные значения: \[\text{Проекция} = \frac{0}{9} \cdot \vec{AC} = 0 \cdot \vec{AC} = (0; 0; 0)\]