Найти проекцию вектора ABна вектор AC

Условие:

Найти проекцию вектора AB на вектор AC , если:

Решение:

**Предмет: линейная алгебра (геометрия, векторы).** **Раздел: Векторные операции (проекция векторов).** Задание: Найти проекцию вектора **AB** на вектор **AC**, если \( A(-4; 3; 0) \), \( B(0; 1; 3) \), и \( C(-2; 4; -2) \). ### Шаг 1: Найдем координаты векторов 1. \(\vec{AB} = B - A = (0 - (-4); 1 - 3; 3 - 0) = (4; -2; 3)\) 2. \(\vec{AC} = C - A = (-2 - (-4); 4 - 3; -2 - 0) = (2; 1; -2)\) Теперь у нас есть вектора: - \(\vec{AB} = (4; -2; 3)\) - \(\vec{AC} = (2; 1; -2)\) ### Шаг 2: Найдем скалярное произведение векторов Формула **скалярного произведения**: \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2 \] Подставим значения: \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 + 3 \cdot (-2) = 8 - 2 - 6 = 0 \] ### Шаг 3: Найдем квадрат длины вектора \(\vec{AC}\) Формула для длины вектора (квадрат длины): \[ |\vec{AC}|^2 = x^2 + y^2 + z^2 \] Посчитаем квадрат длины \(\vec{AC}\): \[ |\vec{AC}|^2 = 2^2 + 1^2 + (-2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9 \] ### Шаг 4: Найдем проекцию вектора \(\vec{AB}\) на \(\vec{AC}\) Формула для проекции вектора \(\vec{AB}\) на \(\vec{AC}\): \[ \text{Проекция} = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AC}|^2} \cdot \vec{AC} \] Подставляем найденные значения: \[ \text{Проекция} = \frac{0}{9} \cdot \vec{AC} = 0 \cdot \vec{AC} = (0; 0; 0) \] ### Ответ: Проекция вектора **AB** на вектор **AC** равна **(0; 0; 0)**.