найти проекцию вектора a на вектор 2b + c

Предмет: Математика
Раздел: Векторная алгебра

Нам нужно найти проекцию вектора a на вектор 2b + c, где
a = (1, -3, 4),
b = (3, -4, 2),
c = (-1, 1, 4).

Шаг 1: Найдём вектор 2b + c

Умножим вектор b на 2:
2b = 2 \cdot (3, -4, 2) = (6, -8, 4)

Теперь сложим с c:
2b + c = (6, -8, 4) + (-1, 1, 4) = (6 - 1, -8 + 1, 4 + 4) = (5, -7, 8)

Шаг 2: Формула проекции вектора a на вектор v (здесь v = 2b + c):

Проекция вектора a на v — это вектор, который коллинеарен v и равен
\text{proj}_{v} a = \frac{a \cdot v}{|v|^2} v,

где a \cdot v — скалярное произведение векторов,
|v|^2 = v \cdot v — квадрат длины вектора v.

Шаг 3: Найдём скалярное произведение a \cdot v

a \cdot v = (1)(5) + (-3)(-7) + (4)(8) = 5 + 21 + 32 = 58

Шаг 4: Найдём |v|^2

|v|^2 = 5^2 + (-7)^2 + 8^2 = 25 + 49 + 64 = 138

Шаг 5: Найдём проекцию

\text{proj}_{v} a = \frac{58}{138} (5, -7, 8) = \frac{29}{69} (5, -7, 8)

Шаг 6: Запишем координаты проекции

\text{proj}_{v} a = \left(\frac{29}{69} \cdot 5, \frac{29}{69} \cdot (-7), \frac{29}{69} \cdot 8\right) = \left(\frac{145}{69}, -\frac{203}{69}, \frac{232}{69}\right)

Ответ:

Проекция вектора a на вектор 2b + c равна
\left(\frac{145}{69}, -\frac{203}{69}, \frac{232}{69}\right).