Найти при каких значениях n векторы а( n, 3,9) в(6, n, 3) перпендикулярны

Предмет: Линейная алгебра Раздел: Векторы. Скалярное произведение векторов

Решение:

Для того чтобы определить, при каких значениях \( n \) векторы \( \mathbf{a} = (n, 3, 9) \) и \( \mathbf{b} = (6, n, 3) \) перпендикулярны, воспользуемся свойством скалярного произведения векторов. Два вектора \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) определяется как:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \]

Где \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) — это координаты вектора \( \mathbf{a} \), а \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\) — координаты вектора \( \mathbf{b} \):

1. \(a_1 = n\), \(a_2 = 3\), \(a_3 = 9\)
2. \(b_1 = 6\), \(b_2 = n\), \(b_3 = 3\)

Теперь запишем выражение для скалярного произведения:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = n \cdot 6 + 3 \cdot n + 9 \cdot 3 \]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 6n + 3n + 27 = 9n + 27 \]

Для перпендикулярности векторов, скалярное произведение должно быть равно нулю:

\[ 9n + 27 = 0 \]

Решим это уравнение:

\[ 9n = -27 \]

\[ n = \frac{-27}{9} \]

\[ n = -3 \]

Ответ: Векторы \( \mathbf{a} = (n, 3, 9) \) и \( \mathbf{b} = (6, n, 3) \) перпендикулярны при \(n = -3\).