Найти поток векторного поля a через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя)

Условие:

Найти поток векторного поля a через замкнутую поверхность S(нормаль внешняя)

Решение:

Это задание принадлежит к предмету векторное исчисление и относится к разделу потока векторного поля через замкнутую поверхность. Цель этого задания - найти поток векторного поля \(\mathbf{a}\) через замкнутую поверхность \(\mathbf{S}\). Поверхность \(\mathbf{S}\) ограничена цилиндром \(x^2 + y^2 = 9\) при \(z \geq 0\), плоскостью \(z = x\) и плоскостью \(z = 0\). Дано векторное поле: \[ \mathbf{a} = (x + z)\mathbf{i} + (z + y)\mathbf{k} \] Мы можем использовать теорему Остроградского-Гаусса для нахождения потока: \[ \iint_S \mathbf{a} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{a}) \, dV, \] где \(\nabla \cdot \mathbf{a}\) - дивергенция векторного поля. Сначала найдем \(\nabla \cdot \mathbf{a}\): \[ \mathbf{a} = (x + z)\mathbf{i} + (z + y)\mathbf{k} \] \[ \nabla \cdot \mathbf{a} = \frac{\partial (x+z)}{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} + \frac{\partial (z+y)}{\partial z} = 1 + 1 = 2 \] Теперь интегрируем дивергенцию по объему, ограниченному поверхностью \(S\). Так как \(\nabla \cdot \mathbf{a} = 2\) является константой, интеграл принимает вид: \[ \iiint_V 2 \, dV = 2 \iiint_V \, dV, \] где \(V\) - объем цилиндра \(x^2 + y^2 = 9\) с высотой, определенной плоскостью \(z = x\) на всё \((x^2 + y^2)^2=9\) и \(z = 0\). Найдем объём цилиндра: \(x^2 + y^2 = 9\) - уравнение круга с радиусом \(R = 3\). Высота \(z = x\), где \(x\) варьируется от 0 до 3. Объем \(V\), ограниченный \(z = 0\) и \(z = x\): \[ V = \int_{0}^{3} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{3} r \, dz \, d\theta \, dr, \] где \(r\) — радиальная координата в полярной системе координат. Интегрируем по \(z\): \[ \int_{0}^{3} z \, dz = \left. \frac{z^2}{2} \right|_{0}^{3} = \frac{9}{2} \] Зависимость остаётся только по радиусу и уголому: \[ \iiint_V r \, dz \, d\theta \, dr = \int_{0}^{3}\int_{0}^{2\pi} \rho^2 d\rho d\theta Плущ Оружие-анализир \] (заканчивается)