Найти показательное представление комплексного числа по формуле Эйлера

Данный вопрос относится к разделу высшей математики, а именно к теме комплексных чисел и их представлению в показательной форме.

Комплексное число \( z = 1 + i \) задано в алгебраической форме. Нам нужно найти его показательное представление по формуле Эйлера: \[ z = r e^{i \varphi} \] где:

• \( r \) — модуль комплексного числа;
• \( \varphi \) — аргумент комплексного числа.

Шаг 1: Найдём модуль

Модуль \( r \) комплексного числа \( z = 1 + i \) равен: \[ r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \]

Шаг 2: Найдём аргумент

Аргумент \( \varphi \) — это угол в полярной системе координат, который определяется как: \[ \varphi = \text{arg} \, z \] Зная, что комплексное число \( 1 + i \) находится в первом квадранте, его аргумент равен \( \frac{\pi}{4} \) (угол, под которым вектор комплексного числа расположен относительно оси абсцисс).

Шаг 3: Показательная форма числа

Теперь мы можем записать комплексное число \( 1 + i \) в показательной форме: \[ z = \sqrt{2} \cdot e^{i \frac{\pi}{4}} \]

Шаг 4: Выбор ответа

Сравнивая с вариантами ответа, видим, что правильный ответ: \[ \boxed{\sqrt{2} e^{i \pi / 4}} \]