Найти площадь треугольника, построенного на заданных векторах

Предмет: Линейная алгебра, векторная алгебра.

Задание: Найти площадь треугольника, построенного на заданных векторах.

Дано:

• Векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) образуют угол \( 45^\circ \).
• \( |\vec{a}| = |\vec{b}| = 5 \).
• Необходимо найти площадь треугольника, построенного на векторах \( \vec{a} - 2\vec{b} \) и \( 3\vec{a} + 2\vec{b} \).

Шаг 1: Запишем формулу для площади треугольника через векторное произведение.

Площадь \( S \) треугольника, построенного на векторах \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \), выражается через длину векторного произведения этих векторов:

\[ S = \frac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}|, \]

где \( \vec{u} = \vec{a} - 2\vec{b} \), а \( \vec{v} = 3\vec{a} + 2\vec{b} \).

Шаг 2: Найдём векторное произведение \( \vec{u} \times \vec{v} \).

Воспользуемся свойством векторного произведения:

\[ (\alpha \vec{a} + \beta \vec{b}) \times (\gamma \vec{a} + \delta \vec{b}) = \alpha \gamma (\vec{a} \times \vec{a}) + \alpha \delta (\vec{a} \times \vec{b}) + \beta \gamma (\vec{b} \times \vec{a}) + \beta \delta (\vec{b} \times \vec{b}). \]

Заметим, что \( \vec{a} \times \vec{a} = 0 \) и \( \vec{b} \times \vec{b} = 0 \). Остаются только смешанные члены, для них также известно, что \( \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a} \).

Таким образом, выражение для векторного произведения превращается в:

\[ \vec{u} \times \vec{v} = (1) \cdot (2) (\vec{a} \times \vec{b}) + (-2) \cdot 3 (\vec{b} \times \vec{a}). \]

Упростим:

\[ \vec{u} \times \vec{v} = 2 \vec{a} \times \vec{b} + 6 \vec{a} \times \vec{b} = 8 \vec{a} \times \vec{b}. \]

Шаг 3: Найдём длину векторного произведения \( |\vec{a} \times \vec{b}| \).

Известно, что длина векторного произведения \( \vec{a} \times \vec{b} \) равна:

\[ |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta. \]

Где \( \theta = 45^\circ \), \( |\vec{a}| = 5 \) и \( |\vec{b}| = 5 \).

Подставим значения:

\[ |\vec{a} \times \vec{b}| = 5 \cdot 5 \cdot \sin 45^\circ = 25 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12,5 \sqrt{2}. \]

Теперь находим длину вектора \( \vec{u} \times \vec{v} \):

\[ |\vec{u} \times \vec{v}| = 8 \cdot |\vec{a} \times \vec{b}| = 8 \cdot 12,5 \sqrt{2} = 100 \sqrt{2}. \]

Шаг 4: Найдём площадь треугольника.

Площадь \( S \) треугольника равна:

\[ S = \frac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}| = \frac{1}{2} \cdot 100 \sqrt{2} = 50 \sqrt{2}. \]

Ответ: Площадь треугольника \( S = 50 \sqrt{2} \).