Найти площадь треугольника, построенного на векторах

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Векторы и операции с ними

Для нахождения площади треугольника, построенного на двух векторах, используется формула:

 S = \frac{1}{2} \cdot | \vec{a} \times \vec{b} |, 

где \vec{a} и \vec{b} — векторы, а \vec{a} \times \vec{b} — векторное произведение. В данном случае нам нужно найти модуль векторного произведения.

Шаг 1: Найдём векторное произведение через длины векторов и угол между ними

Формула для модуля векторного произведения:
 |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin \phi, 
где \phi — угол между векторами.

Длины векторов \vec{a} и \vec{b}

Вектор \vec{a} = 4\vec{p} - 3\vec{q}. Его длина находится по формуле:
 |\vec{a}| = \sqrt{(4|\vec{p}|)^2 + (-3|\vec{q}|)^2}. 

Подставим значения:
 |\vec{a}| = \sqrt{(4 \cdot 3)^2 + (-3 \cdot 1)^2} = \sqrt{12^2 + (-3)^2} = \sqrt{144 + 9} = \sqrt{153}. 

Аналогично для \vec{b} = -\vec{p} + \vec{q}:
 |\vec{b}| = \sqrt{(-|\vec{p}|)^2 + (|\vec{q}|)^2}. 

Подставим значения:
 |\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}. 

Угол между векторами \vec{a} и \vec{b}

Между векторами \vec{p} и \vec{q} угол \phi = 30^\circ.

Теперь найдём синус угла \phi:
 \sin 30^\circ = \frac{1}{2}. 

Шаг 2: Модуль векторного произведения

Подставим всё в формулу:
 |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin \phi. 

Подставим значения:
 |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{153} \cdot \sqrt{10} \cdot \frac{1}{2}. 

Упростим:
 |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{\sqrt{153 \cdot 10}}{2} = \frac{\sqrt{1530}}{2}. 

Шаг 3: Площадь треугольника

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения:
 S = \frac{1}{2} \cdot |\vec{a} \times \vec{b}|. 

Подставим:
 S = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{1530}}{2} = \frac{\sqrt{1530}}{4}. 

Ответ:

Площадь треугольника:
 S = \frac{\sqrt{1530}}{4}.