Найти площадь треугольника, построенного на диагоналях параллелограмма (a)

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Векторы, операции с векторами

Дано:

• Векторы ( \mathbf{p} ) и ( \mathbf{q} ), угол между ними ( 60^\circ ), длины ( |\mathbf{p}| = 2 ), ( |\mathbf{q}| = 1 ).
• Векторы:
  [ \mathbf{a} = 54\mathbf{p} + 81\mathbf{q}, \quad \mathbf{b} = 27\mathbf{p} - 54\mathbf{q}. ]

Требуется:

1. Найти площадь треугольника, построенного на диагоналях параллелограмма (a).
2. Найти высоту треугольника, опущенную на сторону, соответствующую вектору ( \mathbf{a} + \mathbf{b} ) (b).
3. Проверить, образуют ли векторы ( \mathbf{p} ) и ( \mathbf{q} ) базис в пространстве (c).
4. Найти координаты вектора ( \mathbf{d}_1 = \mathbf{a} + \mathbf{b} ) в базисе ( (\mathbf{p}, \mathbf{q}) ) (d).

Решение:

a) Площадь треугольника, построенного на диагоналях параллелограмма

1. Диагонали параллелограмма:
   [ \mathbf{d}_1 = \mathbf{a} + \mathbf{b}, \quad \mathbf{d}_2 = \mathbf{a} - \mathbf{b}. ]

2. Вычислим:
   [ \mathbf{d}_1 = (54\mathbf{p} + 81\mathbf{q}) + (27\mathbf{p} - 54\mathbf{q}) = 81\mathbf{p} + 27\mathbf{q}, ] [ \mathbf{d}_2 = (54\mathbf{p} + 81\mathbf{q}) - (27\mathbf{p} - 54\mathbf{q}) = 27\mathbf{p} + 135\mathbf{q}. ]

3. Площадь параллелограмма:
   [ S_{\text{параллелограмм}} = |\mathbf{d}_1 \times \mathbf{d}_2|. ]

4. Вычислим векторное произведение:
   [ \mathbf{d}_1 \times \mathbf{d}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 81 & 27 & 0 \ 27 & 135 & 0 \end{vmatrix}. ]

   После вычислений:
   [ \mathbf{d}_1 \times \mathbf{d}_2 = (0, 0, 10584). ]

   Тогда:
   [ |\mathbf{d}_1 \times \mathbf{d}_2| = 10584. ]

5. Площадь треугольника:
   [ S{\text{треугольник}} = \frac{1}{2} S{\text{параллелограмм}} = \frac{1}{2} \cdot 10584 = 5292. ]

Ответ (а): Площадь треугольника равна [5292].

b) Высота треугольника

1. Найдем длину вектора ( \mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{d}_1 ):
   [ |\mathbf{d}_1| = \sqrt{81^2 + 27^2} = \sqrt{6561 + 729} = \sqrt{7290}. ]

2. Высота:
   [ h = \frac{2 \cdot S_{\text{треугольник}}}{|\mathbf{d}_1|}. ]

   Подставим:
   [ h = \frac{2 \cdot 5292}{\sqrt{7290}} = \frac{10584}{\sqrt{7290}}. ]

Ответ (b): Высота треугольника равна [\frac{10584}{\sqrt{7290}}].

c) Проверка, образуют ли ( \mathbf{p} ) и ( \mathbf{q} ) базис

Векторы ( \mathbf{p} ) и ( \mathbf{q} ) образуют базис, если они линейно независимы.

1. Проверим линейную независимость:
   [ \mathbf{p} \neq k \mathbf{q}, \quad \forall k \in \mathbb{R}. ]

   Условие выполняется, так как угол между ними ( 60^\circ \neq 0^\circ ).

Ответ (c): Векторы ( \mathbf{p} ) и ( \mathbf{q} ) образуют базис.

d) Координаты ( \mathbf{d}_1 ) в базисе ( (\mathbf{p}, \mathbf{q}) )

1. Выразим ( \mathbf{d}_1 = 81\mathbf{p} + 27\mathbf{q} ).

Координаты в базисе ( (\mathbf{p}, \mathbf{q}) ):
[ (81, 27). ]

Ответ (d): Координаты вектора ( \mathbf{d}_1 ) в базисе ( (\mathbf{p}, \mathbf{q}) ): [81, 27].