Найти площадь треугольника и расстояние от вершины A до плоскости треугольника ABC

Предмет: Математика
Раздел: Линейная алгебра (Системы линейных уравнений)

Задание 2:

В прямоугольной системе координат Oxyz заданы координаты вершин A(2; −2; 1), B(1; 2; −1), C(−2; −6; 0) треугольника плоскости ABC. Найти площадь этой треугольника и расстояние от вершины A до плоскости треугольника ABC.

🔹 Шаг 1: Найдём векторы AB и AC

Вектор AB: [ \vec{AB} = B - A = (1 - 2, 2 - (-2), -1 - 1) = (-1, 4, -2) ]

Вектор AC: [ \vec{AC} = C - A = (-2 - 2, -6 - (-2), 0 - 1) = (-4, -4, -1) ]

🔹 Шаг 2: Найдём векторное произведение [\vec{AB} \times \vec{AC}]

Векторное произведение (по определению детерминанта):

 \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ -1 & 4 & -2 \ -4 & -4 & -1 \ \end{vmatrix} = \vec{i}(4 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-4)) - \vec{j}(-1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-4)) + \vec{k}(-1 \cdot (-4) - 4 \cdot (-4)) 

Вычислим:

 \vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{i}(-4 - 8) - \vec{j}(1 - 8) + \vec{k}(4 + 16) = \vec{i}(-12) - \vec{j}(-7) + \vec{k}(20) = (-12, 7, 20) 

🔹 Шаг 3: Найдём площадь треугольника ABC

Площадь треугольника, заданного двумя векторами, равна половине модуля их векторного произведения:

 S = \frac{1}{2} \cdot |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(-12)^2 + 7^2 + 20^2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{144 + 49 + 400} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{593} 

 S = \frac{\sqrt{593}}{2} 

🔹 Шаг 4: Найдём уравнение плоскости ABC

Плоскость проходит через точку A и имеет нормальный вектор \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (-12, 7, 20).

Уравнение плоскости в общем виде:

 -12(x - 2) + 7(y + 2) + 20(z - 1) = 0 

Раскроем скобки:

 -12x + 24 + 7y + 14 + 20z - 20 = 0 \Rightarrow -12x + 7y + 20z + 18 = 0 

Или:

 12x - 7y - 20z = 18 

🔹 Шаг 5: Найдём расстояние от точки A до плоскости ABC

Формула расстояния от точки [M(x_0, y_0, z_0)] до плоскости [Ax + By + Cz + D = 0]:

 \rho = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} 

Подставим координаты точки A(2, -2, 1) и уравнение плоскости [12x - 7y - 20z - 18 = 0]:

 \rho = \frac{|12 \cdot 2 - 7 \cdot (-2) - 20 \cdot 1 - 18|}{\sqrt{12^2 + (-7)^2 + (-20)^2}} = \frac{|24 + 14 - 20 - 18|}{\sqrt{144 + 49 + 400}} = \frac{0}{\sqrt{593}} = 0 

🔹 Вывод:

1. Площадь треугольника ABC: [ S = \frac{\sqrt{593}}{2} ]

2. Расстояние от точки A до плоскости ABC: [ \rho = 0 ]

👉 Это означает, что точка A лежит на плоскости ABC, что логично, так как A — одна из вершин треугольника.