Найти площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы, где единичные векторы образуют угол 45

Предмет: Математика (геометрия и векторная алгебра)

Раздел: Векторы и геометрия

Задача: Найти площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы \( \vec{d_1} = 2 \vec{m} - \vec{n} \) и \( \vec{d_2} = 4 \vec{m} - 5 \vec{n} \), где \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \) — единичные векторы, образующие угол 45°.

Дано:

• Векторы \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \) — единичные
• Угол между ними \( \theta = 45^\circ \)
• Диагонали параллелограмма: \( \vec{d_1} = 2 \vec{m} - \vec{n} \) и \( \vec{d_2} = 4 \vec{m} - 5 \vec{n} \)

Задача:

Площадь параллелограмма \( S \) можно найти через векторное произведение двух векторов, являющихся диагоналями. Площадь параллелограмма через диагонали вычисляется по следующей формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \times |\vec{d_1} \times \vec{d_2}| \]

Шаг 1: Найдём векторное произведение \( \vec{d_1} \times \vec{d_2} \)

Выражения для векторов:

\[ \vec{d_1} = 2 \vec{m} - \vec{n} \]

\[ \vec{d_2} = 4 \vec{m} - 5 \vec{n} \]

Теперь найдем векторное произведение:

\[ \vec{d_1} \times \vec{d_2} = (2 \vec{m} - \vec{n}) \times (4 \vec{m} - 5 \vec{n}) \]

Раскроем скобки:

\[ \vec{d_1} \times \vec{d_2} = 2 \vec{m} \times 4 \vec{m} - 2 \vec{m} \times 5 \vec{n} - \vec{n} \times 4 \vec{m} + \vec{n} \times 5 \vec{n} \]

Учитывая, что векторное произведение вектора на самого себя равно нулю:

\[ \vec{m} \times \vec{m} = 0 \quad и \quad \vec{n} \times \vec{n} = 0 \]

остальные члены:

\[ \vec{d_1} \times \vec{d_2} = - 2 \vec{m} \times 5 \vec{n} - (-\vec{n} \times 4 \vec{m}) \]

\[ \vec{d_1} \times \vec{d_2} = -10 (\vec{m} \times \vec{n}) + 4 (\vec{m} \times \vec{n}) \]

\[ \vec{d_1} \times \vec{d_2} = (-10 + 4) (\vec{m} \times \vec{n}) \]

\[ \vec{d_1} \times \vec{d_2} = -6 (\vec{m} \times \vec{n}) \]

Шаг 2: Найдём модуль векторного произведения

Известно, что:

\[ |\vec{m} \times \vec{n}| = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}| \cdot \sin(\theta) \]

Так как \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \) — единичные:

\[ |\vec{m} \times \vec{n}| = 1 \cdot 1 \cdot \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Следовательно:

\[ |\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 \sqrt{2} \]

Шаг 3: Найдём площадь параллелограмма

Подставим это значение в формулу площади:

\[ S = \frac{1}{2} \times 3 \sqrt{2} = 1.5 \sqrt{2} \]

Ответ:

Площадь параллелограмма равна \( 1.5 \sqrt{2} \).