Найти площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы, где единичные векторы образуют угол 45

Предмет: Математика (геометрия и векторная алгебра)

Раздел: Векторы и геометрия

Задача: Найти площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы $\text{(}\overrightarrow{d_1}=2\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}\text{)}$ и $\text{(}\overrightarrow{d_2}=4\overrightarrow{m}-5\overrightarrow{n}\text{)}$, где $\text{(}\overrightarrow{m}\text{)}$ и $\text{(}\overrightarrow{n}\text{)}$ — единичные векторы, образующие угол 45°.

Дано:

• Векторы $\text{(}\overrightarrow{m}\text{)}$ и $\text{(}\overrightarrow{n}\text{)}$ — единичные
• Угол между ними $\text{(}\theta ={45}^{\circ }\text{)}$
• Диагонали параллелограмма: $\text{(}\overrightarrow{d_1}=2\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}\text{)}$ и $\text{(}\overrightarrow{d_2}=4\overrightarrow{m}-5\overrightarrow{n}\text{)}$

Задача:

Площадь параллелограмма $\text{(}S\text{)}$ можно найти через векторное произведение двух векторов, являющихся диагоналями. Площадь параллелограмма через диагонали вычисляется по следующей формуле:

$\text{[}S=\frac{1}{2}\times |\overrightarrow{d_1}\times \overrightarrow{d_2}|\text{]}$

Шаг 1: Найдём векторное произведение $\text{(}\overrightarrow{d_1}\times \overrightarrow{d_2}\text{)}$

Выражения для векторов:

$\text{[}\overrightarrow{d_1}=2\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}\text{]}$

$\text{[}\overrightarrow{d_2}=4\overrightarrow{m}-5\overrightarrow{n}\text{]}$

Теперь найдем векторное произведение:

$\text{[}\overrightarrow{d_1}\times \overrightarrow{d_2}=(2\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n})\times (4\overrightarrow{m}-5\overrightarrow{n})\text{]}$

Раскроем скобки:

$\text{[}\overrightarrow{d_1}\times \overrightarrow{d_2}=2\overrightarrow{m}\times 4\overrightarrow{m}-2\overrightarrow{m}\times 5\overrightarrow{n}-\overrightarrow{n}\times 4\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}\times 5\overrightarrow{n}\text{]}$

Учитывая, что векторное произведение вектора на самого себя равно нулю:

$\text{[}\overrightarrow{m}\times \overrightarrow{m}=0и\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{n}=0\text{]}$

остальные члены:

$\text{[}\overrightarrow{d_1}\times \overrightarrow{d_2}=-2\overrightarrow{m}\times 5\overrightarrow{n}-(-\overrightarrow{n}\times 4\overrightarrow{m})\text{]}$

$\text{[}\overrightarrow{d_1}\times \overrightarrow{d_2}=-10(\overrightarrow{m}\times \overrightarrow{n})+4(\overrightarrow{m}\times \overrightarrow{n})\text{]}$

$\text{[}\overrightarrow{d_1}\times \overrightarrow{d_2}=(-10+4)(\overrightarrow{m}\times \overrightarrow{n})\text{]}$

$\text{[}\overrightarrow{d_1}\times \overrightarrow{d_2}=-6(\overrightarrow{m}\times \overrightarrow{n})\text{]}$

Шаг 2: Найдём модуль векторного произведения

Известно, что:

$\text{[}|\overrightarrow{m}\times \overrightarrow{n}|=|\overrightarrow{m}|\cdot |\overrightarrow{n}|\cdot \sin (\theta )\text{]}$

Так как $\text{(}\overrightarrow{m}\text{)}$ и $\text{(}\overrightarrow{n}\text{)}$ — единичные:

$\text{[}|\overrightarrow{m}\times \overrightarrow{n}|=1\cdot 1\cdot \sin ({45}^{\circ })=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{]}$

Следовательно:

$\text{[}|\overrightarrow{d_1}\times \overrightarrow{d_2}|=6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\text{]}$

Шаг 3: Найдём площадь параллелограмма

Подставим это значение в формулу площади:

$\text{[}S=\frac{1}{2}\times 3\sqrt{2}=1.5\sqrt{2}\text{]}$

Ответ:

Площадь параллелограмма равна $\text{(}1.5\sqrt{2}\text{)}$.