Найти площадь грани A1 A2 A3

Предмет: Геометрия

Раздел: Стереометрия

Для нахождения площади грани треугольника A_1A_2A_3, нужно использовать формулу для площади треугольника в пространстве. Если известны координаты вершин треугольника, то площадь можно найти через векторное произведение.

Дано:

Вершины треугольника:
A_1(2; -1; 3),
A_2(3; 4; 3),
A_3(1; -2; 5).

Алгоритм решения:

1. Найдем векторы \vec{A_1A_2} и \vec{A_1A_3}.
2. Вычислим векторное произведение этих векторов.
3. Найдем модуль векторного произведения.
4. Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения.

Шаг 1: Найдем векторы \vec{A_1A_2} и \vec{A_1A_3}.

Вектор \vec{A_1A_2}:  \vec{A_1A_2} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1) = (3 - 2; 4 - (-1); 3 - 3) = (1; 5; 0). 

Вектор \vec{A_1A_3}:  \vec{A_1A_3} = (x_3 - x_1; y_3 - y_1; z_3 - z_1) = (1 - 2; -2 - (-1); 5 - 3) = (-1; -1; 2). 

Шаг 2: Найдем векторное произведение \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3}.

Формула для векторного произведения:  \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 1 & 5 & 0 \ -1 & -1 & 2 \end{vmatrix},  где \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} — орты координатных осей.

Разложим определитель:  \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \vec{i} \cdot \begin{vmatrix} 5 & 0 \ -1 & 2 \end{vmatrix} - \vec{j} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \ -1 & 2 \end{vmatrix} + \vec{k} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 5 \ -1 & -1 \end{vmatrix}. 

Вычислим каждый из миноров:

1. \begin{vmatrix} 5 & 0 \ -1 & 2 \end{vmatrix} = (5 \cdot 2) - (0 \cdot -1) = 10.
2. \begin{vmatrix} 1 & 0 \ -1 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2) - (0 \cdot -1) = 2.
3. \begin{vmatrix} 1 & 5 \ -1 & -1 \end{vmatrix} = (1 \cdot -1) - (5 \cdot -1) = -1 + 5 = 4.

Подставим в формулу:  \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \vec{i} \cdot 10 - \vec{j} \cdot 2 + \vec{k} \cdot 4 = (10; -2; 4). 

Шаг 3: Найдем модуль векторного произведения.

Формула для модуля вектора:  |\vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}. 

Подставим координаты вектора (10; -2; 4):  |\vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3}| = \sqrt{10^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{100 + 4 + 16} = \sqrt{120}. 

Шаг 4: Найдем площадь треугольника.

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения:  S = \frac{1}{2} |\vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3}| = \frac{1}{2} \sqrt{120} = \frac{\sqrt{120}}{2}. 

Упростим корень:  \sqrt{120} = \sqrt{4 \cdot 30} = 2\sqrt{30}. 

Тогда площадь:  S = \frac{2\sqrt{30}}{2} = \sqrt{30}. 

Ответ:

Площадь грани A_1A_2A_3 равна \sqrt{30}.