Найти площадь фигуры ограниченной линиями

Это задание относится к математике, в частности к разделу интегрального исчисления.

Нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной линиями: \[ y = -x^2 + 2, \quad y = 0, \quad x = -1, \quad x = 0 \] Для этого нужно найти определенный интеграл функции \( y = -x^2 + 2 \) от \( x = -1 \) до \( x = 0 \).

Шаг 1: Запишем интеграл. \[\text{Площадь} = \int_{-1}^{0} (-x^2 + 2) \, dx\]

Шаг 2: Найдем первообразную функции \(-x^2 + 2\). \[\int (-x^2 + 2) \, dx = \int -x^2 \, dx + \int 2 \, dx = -\frac{x^3}{3} + 2x + C\] где \( C \) — константа интегрирования, которую нам не нужно учитывать для определенного интеграла.

Шаг 3: Посчитаем значения первообразной на границах интеграла и вычтем. \[\left[ -\frac{x^3}{3} + 2x \right]_{-1}^{0} = \left( -\frac{(0)^3}{3} + 2 \cdot 0 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + 2 \cdot (-1) \right)\]

Шаг 4: Подставим значения и посчитаем разность. \[= \left( 0 \right) - \left( -\frac{-1}{3} - 2 \right)\] \[= 0 - \left( \frac{1}{3} - 2 \right)\] \[= 0 - \left( \frac{1}{3} - \frac{6}{3} \right)\] \[= 0 - \left( \frac{1 - 6}{3} \right)\] \[= 0 - \left( -\frac{5}{3} \right)\] \[= \frac{5}{3}\]

Итак, площадь фигуры равна \(\frac{5}{3}\) квадратных единиц.