Найти площадь части поверхности цилиндра, ограниченной пересечением с данной плоскостью

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математика
Раздел: Векторное и тензорное исчисление, дифференциальная геометрия поверхностей

Решение:

Дана цилиндрическая поверхность:

x^2 + z^2 = a^2

и плоскость, которая ее пересекает:

x^2 + y^2 = a^2.

Найдем площадь части поверхности цилиндра, ограниченной пересечением с данной плоскостью.

1. Параметризация цилиндра:

Параметризуем цилиндр в цилиндрических координатах:

 x = a \cos \theta, \quad z = a \sin \theta, \quad y = y 

где \theta \in [0, 2\pi], а y свободно изменяется.

2. Ограничение по y:

Из уравнения x^2 + y^2 = a^2 получаем:

y = \pm \sqrt{a^2 - x^2} = \pm \sqrt{a^2 - a^2 \cos^2 \theta} = \pm a \sin \theta.

Таким образом, y изменяется в пределах:

-a \sin \theta \leq y \leq a \sin \theta.

3. Вычисление площади:

Элемент площади цилиндра в параметризации (\theta, y):

 dS = |\mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_y| d\theta dy. 

Вычислим частные производные:

 \mathbf{r}_\theta = \left(-a \sin \theta, 0, a \cos \theta \right), 

 \mathbf{r}_y = (0, 1, 0). 

Находим векторное произведение:

 \mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_y = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -a \sin \theta & 0 & a \cos \theta \ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (-a \cos \theta, 0, -a \sin \theta). 

Его модуль:

 |\mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_y| = a. 

Таким образом, элемент площади:

 dS = a d\theta dy. 

Интегрируем:

 S = \int_0^{2\pi} \int_{-a \sin \theta}^{a \sin \theta} a dy d\theta. 

Вычисляем внутренний интеграл:

 \int_{-a \sin \theta}^{a \sin \theta} a dy = a (2 a \sin \theta) = 2a^2 \sin \theta. 

Остается интеграл:

 S = \int_0^{2\pi} 2a^2 \sin \theta d\theta. 

Так как интеграл \int_0^{2\pi} \sin \theta d\theta = 0, то

S = 0.

Однако это означает, что мы неправильно учли ориентацию поверхности. Нужно было брать модуль \sin \theta, так как площадь не может быть отрицательной:

 S = \int_0^{2\pi} 2a^2 |\sin \theta| d\theta. 

Так как |\sin \theta| положительно на [0, \pi] и отрицательно на [\pi, 2\pi], имеем:

 S = 2a^2 \left( \int_0^{\pi} \sin \theta d\theta + \int_{\pi}^{2\pi} -\sin \theta d\theta \right). 

Оба интеграла дают одинаковый результат:

 \int_0^{\pi} \sin \theta d\theta = [-\cos \theta]_0^{\pi} = 1 + 1 = 2. 

Следовательно:

 S = 2a^2 (2 + 2) = 4a^2. 

Ответ:

S = 4a^2.