Найти площадь части поверхности цилиндра, ограниченной пересечением с данной плоскостью

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математика
Раздел: Векторное и тензорное исчисление, дифференциальная геометрия поверхностей

Решение:

Дана цилиндрическая поверхность:

$x^2+z^2=a^2$

и плоскость, которая ее пересекает:

$x^2+y^2=a^2$.

Найдем площадь части поверхности цилиндра, ограниченной пересечением с данной плоскостью.

1. Параметризация цилиндра:

Параметризуем цилиндр в цилиндрических координатах:

$x=a\cos \theta ,z=a\sin \theta ,y=y$

где $\theta \in [0,2\pi ]$, а $y$ свободно изменяется.

2. Ограничение по $y$:

Из уравнения $x^2+y^2=a^2$ получаем:

$y=\pm \sqrt{a^2-x^2}=\pm \sqrt{a^2-a^2{\cos }^2\theta }=\pm a\sin \theta .$

Таким образом, $y$ изменяется в пределах:

$-a\sin \theta \le y\le a\sin \theta .$

3. Вычисление площади:

Элемент площади цилиндра в параметризации $(\theta ,y)$:

$dS=|{\mathbf{r}}_{\theta }\times {\mathbf{r}}_y|d\theta dy.$

Вычислим частные производные:

${\mathbf{r}}_{\theta }=(-a\sin \theta ,0,a\cos \theta ),$

${\mathbf{r}}_y=(0,1,0).$

Находим векторное произведение:

${\mathbf{r}}_{\theta }\times {\mathbf{r}}_y=\left|\begin{array}{ccccccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}-a\sin \theta & 0& a\cos \theta 0& 1& 0\end{array}\right|=(-a\cos \theta ,0,-a\sin \theta ).$

Его модуль:

$|{\mathbf{r}}_{\theta }\times {\mathbf{r}}_y|=a.$

Таким образом, элемент площади:

$dS=ad\theta dy.$

Интегрируем:

$S={\int }_0^{2\pi }{\int }_{-a\sin \theta }^{a\sin \theta }adyd\theta .$

Вычисляем внутренний интеграл:

${\int }_{-a\sin \theta }^{a\sin \theta }ady=a(2a\sin \theta )=2a^2\sin \theta .$

Остается интеграл:

$S={\int }_0^{2\pi }2a^2\sin \theta d\theta .$

Так как интеграл ${\int }_0^{2\pi }\sin \theta d\theta =0$, то

$S=0.$

Однако это означает, что мы неправильно учли ориентацию поверхности. Нужно было брать модуль $\sin \theta$, так как площадь не может быть отрицательной:

$S={\int }_0^{2\pi }2a^2|\sin \theta |d\theta .$

Так как $|\sin \theta |$ положительно на $[0,\pi ]$ и отрицательно на $[\pi ,2\pi ]$, имеем:

$S=2a^2({\int }_0^{\pi }\sin \theta d\theta +{\int }_{\pi }^{2\pi }-\sin \theta d\theta ).$

Оба интеграла дают одинаковый результат:

${\int }_0^{\pi }\sin \theta d\theta =[-\cos \theta {]}_0^{\pi }=1+1=2.$

Следовательно:

$S=2a^2(2+2)=4a^2.$

Ответ:

$S=4a^2.$