Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. a=3m+9n, b=-m-4n

Условие:

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. a=3m+9n, b=-m-4n, где |m|=3,|n|=6,(m, ̂n)=π/3

Решение:

Определим предмет и раздел предмета: - Предмет: Линейная алгебра (иногда рассматривается в рамках курса аналитической геометрии или векторов) - Раздел: Векторная алгебра ### Задача Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), где: \[ \mathbf{a} = 3\mathbf{m} + 9\mathbf{n} \] \[ \mathbf{b} = -\mathbf{m} - 4\mathbf{n} \] а также даны: \[ |\mathbf{m}| = 3, \quad |\mathbf{n}| = 6, \quad (\mathbf{m}, \mathbf{n}) = \frac{\pi}{3} \] ### Решение Сначала напомним основную геометрическую формулу для нахождения площади параллелограмма, построенного на векторах \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\): \[ \text{Площадь} = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| \] где \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) - это векторное произведение векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\). Векторное произведение двух векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) можно определить как: \[ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin\theta \] где \(\theta\) - угол между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\). Теперь найдем длины векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) и угол между ними. #### Шаг 1: Вычисление длин векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) Сначала рассчитаем длину вектора \(\mathbf{a}\): \[ |\mathbf{a}| = \sqrt{(3\mathbf{m} + 9\mathbf{n}) \cdot (3\mathbf{m} + 9\mathbf{n})} \] \[ (3\mathbf{m} + 9\mathbf{n}) \cdot (3\mathbf{m} + 9\mathbf{n}) = 3^2|\mathbf{m}|^2 + 2\cdot3\cdot9 (\mathbf{m}, \mathbf{n}) + 9^2|\mathbf{n}|^2 \] Подставляем значения: \[ = 9 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 9 \cdot 3 + 81 \cdot 6^2 \] \[ = 9 \cdot 9 + 2 \cdot 3 \cdot 9 \cdot 3 + 81 \cdot 36 \] \[ = 81 + 486 + 2916 = 3483 \] Следовательно, \[ |\mathbf{a}| = \sqrt{3483} \] #### Шаг 2: Аналогично, вычислим длину вектора \(\mathbf{b}\): \[ |\mathbf{b}| = \sqrt{(-\mathbf{m} - 4\mathbf{n}) \cdot (-\mathbf{m} - 4\mathbf{n})} \] \[ (-\mathbf{m} - 4\mathbf{n}) \cdot (-\mathbf{m} - 4\mathbf{n}) = (-1)^2|\mathbf{m}|^2 + 2 \cdot (-1) \cdot 4 (\mathbf{m}, \mathbf{n}) + 4^2|\mathbf{n}|^2 \] Подставляем значения: \[ = 1 \cdot 3^2 + 2 \cdot (-1) \cdot 4 \cdot 3 + 16 \cdot 6^2 \] \[ = 9 - 24 + 576 = 561 \] Следовательно, \[ |\mathbf{b}| = \sqrt{561} \] #### Шаг 3: Угол между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) Угол между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) будет рассчитан через векторы \(\mathbf{m}\) и \(\mathbf{n}\) #### Шаг 4: Найти векторное произведение Векторное произведение \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) можно найти через матрицу. Так как у нас нет конкретных координат, мы не будем рассчитывать его матрично. ### Итог Векторное произведение можно обобщенно сказать, что его расчет: \[ = 6|m| |n| \sin(\theta) где \theta подстановке выше приведет к итогу.