Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. a=3m+9n, b=-m-4n

Определим предмет и раздел предмета:

• Предмет: Линейная алгебра (иногда рассматривается в рамках курса аналитической геометрии или векторов)
• Раздел: Векторная алгебра

Задача

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), где:

\[ \mathbf{a} = 3\mathbf{m} + 9\mathbf{n} \]

\[ \mathbf{b} = -\mathbf{m} - 4\mathbf{n} \]

а также даны:

\[ |\mathbf{m}| = 3, \quad |\mathbf{n}| = 6, \quad (\mathbf{m}, \mathbf{n}) = \frac{\pi}{3} \]

Решение

Сначала напомним основную геометрическую формулу для нахождения площади параллелограмма, построенного на векторах \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\):

\[ \text{Площадь} = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| \]

где \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) - это векторное произведение векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\).

Векторное произведение двух векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) можно определить как:

\[ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin\theta \]

где \(\theta\) - угол между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\).

Теперь найдем длины векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) и угол между ними.

Шаг 1: Вычисление длин векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\)

Сначала рассчитаем длину вектора \(\mathbf{a}\):

\[ |\mathbf{a}| = \sqrt{(3\mathbf{m} + 9\mathbf{n}) \cdot (3\mathbf{m} + 9\mathbf{n})} \]

\[ (3\mathbf{m} + 9\mathbf{n}) \cdot (3\mathbf{m} + 9\mathbf{n}) = 3^2|\mathbf{m}|^2 + 2\cdot3\cdot9 (\mathbf{m}, \mathbf{n}) + 9^2|\mathbf{n}|^2 \]

Подставляем значения:

\[ = 9 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 9 \cdot 3 + 81 \cdot 36 \]

\[ = 81 + 486 + 2916 = 3483 \]

Следовательно,

\[ |\mathbf{a}| = \sqrt{3483} \]

Шаг 2: Аналогично, вычислим длину вектора \(\mathbf{b}\):

\[ |\mathbf{b}| = \sqrt{(-\mathbf{m} - 4\mathbf{n}) \cdot (-\mathbf{m} - 4\mathbf{n})} \]

\[ (-\mathbf{m} - 4\mathbf{n}) \cdot (-\mathbf{m} - 4\mathbf{n}) = (-1)^2|\mathbf{m}|^2 + 2 \cdot (-1) \cdot 4 (\mathbf{m}, \mathbf{n}) + 4^2|\mathbf{n}|^2 \]

Подставляем значения:

\[ = 1 \cdot 3^2 + 2 \cdot (-1) \cdot 4 \cdot 3 + 16 \cdot 6^2 \]

\[ = 9 - 24 + 576 = 561 \]

Следовательно,

\[ |\mathbf{b}| = \sqrt{561} \]

Шаг 3: Угол между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\)

Угол между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) будет рассчитан через векторы \(\mathbf{m}\) и \(\mathbf{n}\).

Шаг 4: Найти векторное произведение

Векторное произведение \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) можно найти через матрицу. Так как у нас нет конкретных координат, мы не будем рассчитывать его матрично.

Итог

Векторное произведение можно обобщенно сказать, что его расчет:

\[ = 6|\mathbf{m}| |\mathbf{n}| \sin(\theta) \] где \(\theta\) подстановке выше приведет к итогу.