Найти площадь фигуры ограниченной линиями

Предмет: Математика. Раздел: Интегральное исчисление (вычисление площади фигуры при помощи интегралов).

Задача: найти площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = x^3 + 1\), \(x = 0\), \(x = 1\) и \(y = 0\). Для решения задачи воспользуемся определенным интегралом.

1. Найдём точки пересечения заданных линий:
   • \[ y = x^3 + 1 \]
   • \[ x = 0 \Rightarrow y = 1 \]
   • \[ x = 1 \Rightarrow y = 2 \]
   Границы интегрирования: \(x \) изменяется от 0 до 1.
2. Выражение для подынтегральной функции \(y = x^3 + 1\). Площадь под кривой будет определяться интегралом: \[ \int_{0}^{1} (x^3 + 1) \, dx \]
3. Находим определённый интеграл: \[ \int (x^3 + 1) \, dx = \int x^3 \, dx + \int 1 \, dx \] \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C \] \[ \int 1 \, dx = x + C \] Таким образом: \[ \int_{0}^{1} (x^3 + 1) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} + x \right]_{0}^{1} \]
4. Подставляем границы интегрирования: \[ \left[ \frac{1^4}{4} + 1 \right] - \left[ \frac{0^4}{4} + 0 \right] = \frac{1}{4} + 1 = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} = \frac{5}{4} \] Следовательно, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, составляет \(\frac{5}{4}\) квадратных единиц.