Найти площадь фигуры ограниченной линиями

Предмет: Математика. Раздел: Интегральное исчисление (вычисление площади фигуры при помощи интегралов).

Задача: найти площадь фигуры, ограниченной линиями $\text{(}y=x^3+1\text{)}$, $\text{(}x=0\text{)}$, $\text{(}x=1\text{)}$ и $\text{(}y=0\text{)}$. Для решения задачи воспользуемся определенным интегралом.

1. Найдём точки пересечения заданных линий:
   • $\text{[}y=x^3+1\text{]}$
   • $\text{[}x=0\Rightarrow y=1\text{]}$
   • $\text{[}x=1\Rightarrow y=2\text{]}$
   Границы интегрирования: $\text{(}x\text{)}$ изменяется от 0 до 1.
2. Выражение для подынтегральной функции $\text{(}y=x^3+1\text{)}$. Площадь под кривой будет определяться интегралом: $\text{[}{\int }_0^1(x^3+1)dx\text{]}$
3. Находим определённый интеграл: $\text{[}\int (x^3+1)dx=\int x^{3}dx+\int 1dx\text{]}$ $\text{[}\int x^{3}dx=\frac{x^4}{4}+C\text{]}$ $\text{[}\int 1dx=x+C\text{]}$ Таким образом: $\text{[}{\int }_0^1(x^3+1)dx={[\frac{x^4}{4}+x]}_0^1\text{]}$
4. Подставляем границы интегрирования: $\text{[}[\frac{1^4}{4}+1]-[\frac{0^4}{4}+0]=\frac{1}{4}+1=\frac{1}{4}+\frac{4}{4}=\frac{5}{4}\text{]}$ Следовательно, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, составляет $\text{(}\frac{5}{4}\text{)}$ квадратных единиц.