Найти первый столбец обратной матрицы методом Гаусса

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Обратная матрица, метод Гаусса (метод Гаусса-Жордана)

Задание:

Найти первый столбец обратной матрицы [A^{-1}] методом Гаусса.
Также требуется указать третий столбец преобразованной матрицы [A] после применения метода.

Дано:

Матрица [A]:

 A = \begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 \ -3 & -4 & 2 \ 3 & 4 & -1 \end{pmatrix} 

Шаг 1: Составим расширенную матрицу [A | I]

 \left( \begin{array}{ccc|ccc} 3 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \ -3 & -4 & 2 & 0 & 1 & 0 \ 3 & 4 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) 

Шаг 2: Приводим левую часть к единичной матрице методом Гаусса-Жордана

1. Сделаем первый элемент в [1,1] равным 1:

Разделим первую строку на 3:

 R_1 = \frac{1}{3} R_1 

 \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \ -3 & -4 & 2 & 0 & 1 & 0 \ 3 & 4 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) 

2. Обнуляем элементы под и над первым ведущим элементом:

• [R_2 = R_2 + 3 \cdot R_1]
• [R_3 = R_3 - 3 \cdot R_1]

Получаем:

 \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \ 0 & 1 & 3 & 1 & 1 & 0 \ 0 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right) 

3. Обнуляем элементы в столбце 2

• [R_3 = R_3 + R_2]

 \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \ 0 & 1 & 3 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right) 

4. Обнуляем элементы в 3-м столбце:

• [R_2 = R_2 - 3 \cdot R_3]
• [R_1 = R_1 - \frac{1}{3} \cdot R_3]

Получаем:

 \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & \frac{5}{3} & 0 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \ 0 & 1 & 0 & 1 & -2 & -3 \ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right) 

5. Обнуляем элемент [1,2]:

• [R_1 = R_1 - \frac{5}{3} \cdot R_2]

 \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -2 & 3 & 4 \ 0 & 1 & 0 & 1 & -2 & -3 \ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right) 

Шаг 3: Ответ

Теперь правая часть — это обратная матрица [A^{-1}]. Первый столбец:

 \begin{pmatrix} -2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} 

А третий столбец преобразованной матрицы (правая часть после преобразований):

 \begin{pmatrix} 4 \ -3 \ 1 \end{pmatrix} 

Ответ в требуемом формате (через точку с запятой, три знака после запятой):

-2.000;1.000;0.000;4.000;-3.000;1.000

Если нужно, могу показать, как это решается в Python/NumPy.