Найти определитель матрицы, составленной из коэффициентов системы уравнений методом треугольника

Задание относится к предмету математики, а именно к линейной алгебре, к теме вычисления определителей матриц.

Задача: найти определитель матрицы, составленной из коэффициентов системы уравнений методом "треугольника"

Данную систему уравнений можно записать в виде матрицы коэффициентов:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -4 \\ 3 & -2 & -5 \end{pmatrix} \]

Метод решения — правило треугольника для определителя матрицы 3x3:

Определитель матрицы 3x3 можно вычислить по формуле через правило треугольника:

\[ \text{det}(A) = a_1 b_2 c_3 + b_1 c_2 a_3 + c_1 a_2 b_3 - (c_1 b_2 a_3 + b_1 a_2 c_3 + a_1 c_2 b_3) \]

Где:

\[ \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix} \]

Для матрицы:

\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -4 \\ 3 & -2 & -5 \end{pmatrix} \]

Параметры будут:

\[ a_1 = 1, \, b_1 = -2, \, c_1 = 3, \\ a_2 = 2, \, b_2 = 3, \, c_2 = -4, \\ a_3 = 3, \, b_3 = -2, \, c_3 = -5 \]

Теперь применим правило треугольника:

\[ \text{det}(A) = 1 \cdot 3 \cdot (-5) + (-2) \cdot (-4) \cdot 3 + 3 \cdot 2 \cdot (-2) \]

\[ - (3 \cdot 3 \cdot 3 + (-2) \cdot 2 \cdot (-5) + 1 \cdot (-4) \cdot (-2)) \]

Вычисляем каждую часть:

1. \( 1 \cdot 3 \cdot (-5) = -15 \)
2. \( (-2) \cdot (-4) \cdot 3 = 24 \)
3. \( 3 \cdot 2 \cdot (-2) = -12 \)

Теперь вычтем другую часть:

1. \( 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \)
2. \( (-2) \cdot 2 \cdot (-5) = 20 \)
3. \( 1 \cdot (-4) \cdot (-2) = 8 \)

Теперь складываем и вычитаем результаты:

\[ \text{det}(A) = (-15 + 24 - 12) - (27 + 20 + 8) \]

\[ \text{det}(A) = (-3) - (55) \]

Ответ: Определитель матрицы равен \(-58\).

\[ \text{det}(A) = -3 - 55 = -58 \]