Найти определитель

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Определители и векторная алгебра

Решение задачи:

Задача: Найти определитель.

Дано три вектора:
\vec{a} = \{1, -2, 3\},
\vec{b} = \{0, -3, 4\},
\vec{c} = \{-1, -1, 1\}.

Для проверки компланарности векторов нужно вычислить определитель матрицы, составленной из координат этих векторов. Если определитель равен нулю, то векторы компланарны.

Шаг 1. Запишем определитель:

 \text{det} = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \ 0 & -3 & 4 \ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} 

Шаг 2. Разложим определитель по первой строке:

 \text{det} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 4 \ -1 & 1 \end{vmatrix} - (-2) \cdot \begin{vmatrix} 0 & 4 \ -1 & 1 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -3 \ -1 & -1 \end{vmatrix}. 

Шаг 3. Вычислим каждый из малых определителей:

1.  \begin{vmatrix} -3 & 4 \ -1 & 1 \end{vmatrix} = (-3) \cdot 1 - (-1) \cdot 4 = -3 + 4 = 1. 

2.  \begin{vmatrix} 0 & 4 \ -1 & 1 \end{vmatrix} = 0 \cdot 1 - (-1) \cdot 4 = 0 + 4 = 4. 

3.  \begin{vmatrix} 0 & -3 \ -1 & -1 \end{vmatrix} = 0 \cdot (-1) - (-1) \cdot (-3) = 0 - 3 = -3. 

Шаг 4. Подставим значения в общий определитель:

 \text{det} = 1 \cdot 1 - (-2) \cdot 4 + 3 \cdot (-3) = 1 + 8 - 9 = 0. 

Вывод:

Определитель равен нулю, то есть векторы \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} компланарны.