Найти оператор (AB)(X) для линейных преобразований

Условие:

Найти оператор (AB)(X) для линейных преобразований

Решение:

Данное задание относится к предмету "линейной алгебры", в разделе изучения линейных преобразований и операторов. Нам нужно найти оператор \((AB)(X)\), где \(A\) и \(B\) – это заданные линейные преобразования. Представим линейные преобразования \(A\) и \(B\) в матричной форме. Для системы преобразования \(A\): \[ \begin{cases} y_1 = x_2 - 2x_1 \\ y_2 = 2x_1 - x_2 \end{cases} \] матрица \(A\) будет: \[ A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \] Для системы преобразования \(B\): \[ \begin{cases} y_1 = x_1 + 2x_2 \\ y_2 = x_2 - x_1 \end{cases} \] матрица \(B\) будет: \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \] Теперь найдем произведение матриц \(A\) и \(B\): \[ AB = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \] Для вычисления произведения матриц перемножим строки матрицы \(A\) на столбцы матрицы \(B\): Первая строка первой результирующей строки: \[ (-2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1)) = -2 - 1 = -3 \] Первая строка второй результирующей строки: \[ (-2 \cdot 2 + 1 \cdot 1) = -4 + 1 = -3 \] Вторая строка первой результирующей строки: \[ (2 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1)) = 2 + 1 = 3 \] Вторая строка второй результирующей строки: \[ (2 \cdot 2 + (-1) \cdot 1) = 4 - 1 = 3 \] Таким образом, конечная матрица будет: \[ AB = \begin{pmatrix} -3 & -3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \] И она соответствует первой опции в предложенном выборе ответов: \[ \boxed{\left(-\begin{array}{cc} 3 & 3 \\ 3 & 3 \\ \end{array}\right)} \]