Бесплатно для РФ
Не нашли решение вашей задачи?
Теперь Решка решает все задачи по любому предмету за 30 секунд
Найти объем тела, ограниченного тором x =(b + acos i) cos ф, y = (b + a cos i) sin ф, (0
Задача относится к разделу **аналитической геометрии** и **математического анализа**. Мы будем находить объём тела, ограниченного **тором** с использованием метода **вычисления объёмов тел вращения** с помощью **интегралов**. ### Шаг 1: Параметризация тора. Для начала разберёмся, что такое тор. Тор — это поверхность, которая получается вращением окружности вокруг оси в пространстве. Уравнения, представленные в задаче, описывают произвольную точку на таком торе с помощью параметрических уравнений: - \( x = (b + a \cos \theta)\cos\varphi \) - \( y = (b + a \cos \theta)\sin\varphi \) - \( z = a \sin \theta \) Здесь: - \( b \) — расстояние от центра тора до оси вращения (осевой радиус), - \( a \) — радиус вращающейся окружности, - \( \theta \) — параметр, обуславливающий положение точки на окружности внутри тора (от 0 до \( 2\pi \)), - \( \varphi \) — полярный угол вокруг оси симметрии (обозначается также от \( 0 \) до \( 2\pi \)). ### Шаг 2: Определение объёма. Объём тора можно вычислить с помощью общего подхода посредством интегрирования по поверхности с учётом её якобиана. Определим объём, исходя из принципа вычисления объёмов с помощью двойного интеграла. Полная формула для объёма тора (объём тела вращения) в параметрических координатах должна учитывать площадь элементарного объёма в этой системе координат. Для тора объём выражается формулой: \[ V = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{\varphi=0}^{2\pi} a^2 (b + a\cos\theta)d\varphi d\theta \] Где \( a \) и \( b \) — параметры радиусов тора. ### Шаг 3: Решение интеграла. Теперь решим этот интеграл пошагово. 1. Во внутреннем интеграле \( d\varphi \), функция не зависит от \( \varphi \), поэтому интегрирование сводится к обычному умножению на длину диапазона изменения угла \( \varphi \) (от 0 до \( 2\pi \)): \[ \int_0^{2\pi} a^2 (b + a \cos\theta) d\varphi = 2\pi a^2 (b + a \cos\theta) \] 2. Теперь подставим эту функцию во внешний интеграл по переменной \( \theta \): \[ V = 2\pi a^2 \int_0^{2\pi} (b + a\cos\theta) d\theta \] 3. Интегрируем по \( \theta \): - Интеграл от константы \( b \): \[ \int_0^{2\pi} b d\theta = b\cdot2\pi \] - Интеграл от \( a \cos \theta \) по \( \theta \): \[ \int_0^{2\pi} a \cos \theta d\theta = a \cdot \left[\sin \theta\right]_0^{2\pi} = 0 \] Итак, объём сводится к следующему: \[ V = 2\pi a^2 \cdot b \cdot 2\pi = 4\pi^2 a^2 b \] ### Ответ: Объём тора равен: \[ V = 4\pi^2 a^2 b \] Это и есть итоговый объём тела, ограниченного параметризованным тором.