Данный тип задания относится к линейной алгебре. Задача заключается в нахождении общего решения систем однородных линейных уравнений (СЛУ) с помощью методов, таких как метод Гаусса. Рассмотрим решение системы уравнений а).
Шаг 1: Преобразуем систему уравнений. Изначально система выглядит так:
\[ \begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 - 2x_4 - 2x_5 = 0 \quad \text{(1)} \\ 2x_1 + 3x_2 - 2x_3 - 5x_4 - 4x_5 = 0 \quad \text{(2)} \\ x_1 - x_2 - x_3 - 2x_5 = 0 \quad \text{(3)} \\ x_1 - 2x_2 - x_3 + x_4 - 2x_5 = 0 \quad \text{(4)} \end{cases} \]
Шаг 2: Приведем систему к треугольному виду методом Гаусса.
1. Вычтем первое уравнение из второго и четвертого (умножив при необходимости на соответствующие коэффициенты), чтобы исключить переменную \(x_1\):
Из уравнения (2) вычтем удвоенное уравнение (1): \[ (2x_1 + 3x_2 - 2x_3 - 5x_4 - 4x_5) - 2(x_1 + x_2 - x_3 - 2x_4 - 2x_5) = 0 \]
Результат: \[ x_2 - 0x_3 - x_4 = 0 \quad \text{(2')} \]
Теперь из уравнения (4) вычтем уравнение (1): \[ (x_1 - 2x_2 - x_3 + x_4 - 2x_5) - (x_1 + x_2 - x_3 - 2x_4 - 2x_5) = 0 \]
Результат: \[ -3x_2 + 3x_4 = 0 \quad \text{(4')} \]
Теперь система принимает вид: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 - 2x_4 - 2x_5 = 0 \quad \text{(1)} \\ x_2 - x_4 = 0 \quad \text{(2')} \\ x_1 - x_2 - x_3 - 2x_5 = 0 \quad \text{(3)} \\ -3x_2 + 3x_4 = 0 \quad \text{(4')} \end{cases} \]
Шаг 3: Рассмотрим уравнения (2') и (4').
Уравнение (2') даёт \(x_2 = x_4\). Подставим это в уравнение (4'): \[ -3x_2 + 3x_4 = 0 \]
Оно выполняется автоматически для любого \(x_2\) (то есть не добавляет новой информации).
Шаг 4: Подставим \(x_2 = x_4 \) в остальные уравнения.
Подставим \(x_2 = x_4\) в уравнения (1) и (3):
(1): \(x_1 + x_2 - x_3 - 2x_2 - 2x_5 = 0 \Rightarrow x_1 - x_2 - x_3 - 2x_5 = 0 \)
(3): \(x_1 - x_2 - x_3 - 2x_5 = 0 \)
Таким образом, данные два уравнения идентичны, что означает, что эти уравнения не содержат новой информации.
Шаг 5: Записываем общее решение.
У нас остаются два независимых уравнения:
1) \(x_2 = x_4\)
2) \(x_1 = x_3 + x_2 + 2x_5\).
Таким образом, можно выразить общее решение в параметрической форме, используя \(x_3\) и \(x_5\) в качестве свободных переменных: \[ x_1 = x_3 + x_2 + 2x_5 \] \[ x_2 = x_4 \]
Пусть \(x_3 = t\) и \(x_5 = s\), где \(t\) и \(s\) — произвольные параметры. Тогда общее решение будет: \[ \begin{cases} x_1 = t + x_2 + 2s \\ x_2 = x_4 \\ x_3 = t \\ x_4 = x_2 \\ x_5 = s \end{cases} \]
Это и есть общее решение системы.