Найти общее решение системы линейных уравнений

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Системы линейных уравнений

Дана система линейных уравнений:

 \begin{cases} 2x_1 + 4x_2 + 6x_3 + x_4 = 4, \ x_1 + 2x_2 + 3x_3 + x_4 = 2, \ 3x_1 + 6x_2 + 9x_3 + 3x_4 = 6. \end{cases} 

Запишем систему в матричном виде:

 \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 & 1 \ 1 & 2 & 3 & 1 \ 3 & 6 & 9 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \ 2 \ 6 \end{bmatrix}. 

Шаг 1: Приведение матрицы к ступенчатому виду

Видно, что третья строка является линейной комбинацией второй строки (она равна второй строке, умноженной на 3). Это означает, что система имеет зависимость между уравнениями, и ранг матрицы коэффициентов меньше числа переменных.

Отнимем первую строку, умноженную на 0.5, от второй строки:

 R_2 \leftarrow R_2 - \frac{1}{2} R_1 

 \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 & 1 & | 4 \ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & | 0 \ 3 & 6 & 9 & 3 & | 6 \end{bmatrix} 

Отнимем первую строку, умноженную на 1.5, от третьей строки:

 R_3 \leftarrow R_3 - \frac{3}{2} R_1 

 \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 & 1 & | 4 \ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & | 0 \ 0 & 0 & 0 & \frac{3}{2} & | 0 \end{bmatrix} 

Теперь видно, что третья строка пропорциональна второй, поэтому она не дает новой информации. Исключаем её.

Шаг 2: Запись системы в виде выражений

Из второй строки:

 \frac{1}{2} x_4 = 0 \Rightarrow x_4 = 0. 

Подставляем в первое уравнение:

 2x_1 + 4x_2 + 6x_3 = 4. 

Шаг 3: Общее решение

Выразим x_1 через свободные переменные x_2 и x_3:

 x_1 = 2 - 2x_2 - 3x_3. 

Таким образом, общее решение:

 \begin{cases} x_1 = 2 - 2x_2 - 3x_3, \ x_2 = x_2, \ x_3 = x_3, \ x_4 = 0. \end{cases} 

Запишем в параметрическом виде:

 \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \ 0 \ 0 \ 0 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} -2 \ 1 \ 0 \ 0 \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} -3 \ 0 \ 1 \ 0 \end{bmatrix}. 

Где x_2 и x_3 — свободные параметры.

Ответ:

Общее решение системы:

 (x_1, x_2, x_3, x_4) = (2 - 2x_2 - 3x_3, x_2, x_3, 0), \quad x_2, x_3 \in \mathbb{R}.