Найти образ и ядро линейного оператора линейного пространства V3 векторов-отрезков

Рассмотрим 4-е задание (вариант 5) из предоставленного списка заданий. Оно гласит: "Найти образ и ядро линейного оператора линейного пространства V₃ векторов отрезков, заданного формулой φ = a + b, где h - фиксированный вектор." Разберем это задание шаг за шагом.

Шаг 1: Определение линейного оператора

Оператор φ определяется следующим образом: φ = a + b.

Шаг 2: Определение линейного пространства V₃

Пространство V₃ состоит из векторов отрезков. Пусть будем работать в координатах, где вектор запишем как \( (x_1, x_2, x_3) \).

Шаг 3: Проверка линейности оператора

Проверка линейности:

1. Аддитивность: φ(v1 + v2) = φ(v1) + φ(v2)
2. Однородность: φ(λv) = λφ(v)

Пусть \( v1 = h(x1, b1) \) и \( v2 = h(x2, b2) \):

\[ φ(v1 + v2) = φ(h(x1 + x2), b1 + b2) = a + (b1 + b2) = (a + b1) + (a + b2). \]

Поэтому аддитивность сохраняется. Аналогично для однородности:

\[ φ(λv) = φ(λh(x, b)) = a + λb. \]

Линейность подтверждается.

Шаг 4: Нахождение образа и ядра

Образ: Образ оператора - это множество всех значений, которые оператор принимает. Из нашей формулы видно, что φ = a + b. Следовательно, множество всех возможных значений представляет собой всю ось всех b с добавлением постоянного вектора a. Таким образом, образ данного линейного оператора: \[ \{a + b \mid b \in V_3\} \]

Ядро: Ядро оператора - это множество всех векторов, которые отображаются в ноль (нулевой вектор). Рассмотрим φ = 0:

\[ a + b = 0 \implies b = -a. \]

Следовательно, ядром данного линейного оператора является множество всех векторов h(x, -a), где x произвольное:

\[ \{h(x, -a) \mid x \in V_3\}. \]

Заключение

• Образ: \(\{a + b \mid b \in V_3\}\)
• Ядро: \(\{h(x, -a) \mid x \in V_3\}\)

Таким образом, мы нашли ядро и образ линейного оператора для данного задания.