Найти образ и ядро линейного оператора линейного пространства V3 векторов-отрезков

Условие:

Решение:

Рассмотрим 4-е задание (вариант 5) из предоставленного списка заданий. Оно гласит: "Найти образ и ядро линейного оператора линейного пространства V₃ векторов отрезков, заданного формулой φ = a + b, где h - фиксированный вектор." Разберем это задание шаг за шагом. ### Шаг 1: Определение линейного оператора Оператор φ определяется следующим образом: φ = a + b. ### Шаг 2: Определение линейного пространства V₃ Пространство V₃ состоит из векторов отрезков. Пусть будем работать в координатах, где вектор запишем как \( (x_1, x_2, x_3) \). ### Шаг 3: Проверка линейности оператора Проверка линейности: 1. Аддитивность: φ(v1 + v2) = φ(v1) + φ(v2) 2. Однородность: φ(λv) = λφ(v) Пусть \( v1 = h(x1, b1) \) и \( v2 = h(x2, b2) \): \[ φ(v1 + v2) = φ(h(x1 + x2), b1 + b2) = a + (b1 + b2) = (a + b1) + (a + b2). \] Поэтому аддитивность сохраняется. Аналогично для однородности: \[ φ(λv) = φ(λh(x, b)) = a + λb. \] Линейность подтверждается. ### Шаг 4: Нахождение образа и ядра **Образ:** Образ оператора - это множество всех значений, которые оператор принимает. Из нашей формулы видно, что φ = a + b. Следовательно, множество всех возможных значений представляет собой всю ось всех b с добавлением постоянного вектора a. Таким образом, образ данного линейного оператора: \[ \{a + b \mid b \in V_3\} \] **Ядро:** Ядро оператора - это множество всех векторов, которые отображаются в ноль (нулевой вектор). Рассмотрим φ = 0: \[ a + b = 0 \implies b = -a. \] Следовательно, ядром данного линейного оператора является множество всех векторов h(x, -a), где x произвольное: \[ \{h(x, -a) \mid x \in V_3\}. \] ### Заключение - Образ: \(\{a + b \mid b \in V_3\}\) - Ядро: \(\{h(x, -a) \mid x \in V_3\}\) Таким образом, мы нашли ядро и образ линейного оператора для данного задания.