Найти обратную матрицу к матрице А

Условие:

Найти обратную матрицу к матрице А

Решение:

Ваше задание относится к линейной алгебре, одной из областей математики. Давайте найдем обратную матрицу для данной матрицы \( A \). Матрица \( A \) выглядит так: \[ A = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \] Чтобы найти обратную матрицу \( A^{-1} \), нам нужно выполнить следующие шаги: ### Шаг 1: Найти детерминант матрицы \( A \) Детерминант матрицы \( 2 \times 2 \) определяется как: \[ \text{det}(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \] В нашем случае: - \( a_{11} = -1 \) - \( a_{12} = 4 \) - \( a_{21} = -2 \) - \( a_{22} = 3 \) Подставим эти значения в формулу: \[ \text{det}(A) = (-1) \cdot 3 - 4 \cdot (-2) \] \[ \text{det}(A) = -3 + 8 \] \[ \text{det}(A) = 5 \] ### Шаг 2: Найти матрицу алгебр дополнений (матрица миноров) Для матрицы \( 2 \times 2 \) это просто: \[ \begin{pmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{pmatrix} \] В нашем случае: \[ \text{Миноры} = \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \] ### Шаг 3: Транспонировать матрицу миноров Для матрицы \( 2 \times 2 \) транспонированная матрица выглядит так же, как и её миноры: \[ \text{Транспонированные миноры} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -4 & -1 \end{pmatrix} \] ### Шаг 4: Разделить каждый элемент транспонированной матрицы на детерминант Теперь нам нужно каждое значение разделить на детерминант \( A \) (в данном случае, 5): \[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{Транспонированные миноры} \] \[ A^{-1} = \frac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -4 & -1 \end{pmatrix} \] Результат: \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ -\frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \end{pmatrix} \] Таким образом, обратная матрица для \( A \) является: \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ -\frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \end{pmatrix} \]