Найти обратную матрицу к матрице А

Ваше задание относится к линейной алгебре, одной из областей математики. Давайте найдем обратную матрицу для данной матрицы \( A \). Матрица \( A \) выглядит так:

\[ A = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \]

Чтобы найти обратную матрицу \( A^{-1} \), нам нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найти детерминант матрицы \( A \)

Детерминант матрицы \( 2 \times 2 \) определяется как:

\[ \text{det}(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \]

В нашем случае:

• \( a_{11} = -1 \)
• \( a_{12} = 4 \)
• \( a_{21} = -2 \)
• \( a_{22} = 3 \)

Подставим эти значения в формулу:

\[ \text{det}(A) = (-1) \cdot 3 - 4 \cdot (-2) \]

\[ \text{det}(A) = -3 + 8 \]

\[ \text{det}(A) = 5 \]

Шаг 2: Найти матрицу алгебр дополнений (матрица миноров)

Для матрицы \( 2 \times 2 \) это просто:

\[ \begin{pmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{pmatrix} \]

В нашем случае:

\[ \text{Миноры} = \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \]

Шаг 3: Транспонировать матрицу миноров

Для матрицы \( 2 \times 2 \) транспонированная матрица выглядит так же, как и её миноры:

\[ \text{Транспонированные миноры} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -4 & -1 \end{pmatrix} \]

Шаг 4: Разделить каждый элемент транспонированной матрицы на детерминант

Теперь нам нужно каждое значение разделить на детерминант \( A \) (в данном случае, 5):

\[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{Транспонированные миноры} \]

\[ A^{-1} = \frac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -4 & -1 \end{pmatrix} \]

Результат:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ -\frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \end{pmatrix} \]

Таким образом, обратная матрица для \( A \) является:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ -\frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \end{pmatrix} \]