Найти обратную матрицу

Предмет: Математика Раздел: Линейная алгебра (Обратные матрицы)

Для нахождения обратной матрицы \( \mathbf{A} \), рассмотрим матрицу \( \mathbf{A} \):

\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \]

Шаг 1: Находим определитель матрицы \( \mathbf{A} \)

\[ \text{det}(\mathbf{A}) = 1 \cdot (-2) - (-4) \cdot 1 = -2 + 4 = 2 \]

Так как определитель \( \mathbf{A} \) не равен нулю, матрица обратима.

Шаг 2: Находим алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы и составляем матрицу алгебраических дополнений:

\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \]

Алгебраическое дополнение элемента \( a \):

\[ A_{11} = (-2) = -2 \]

Алгебраическое дополнение элемента \( b \):

\[ A_{12} = -1 \cdot (1) = -1 \]

Алгебраическое дополнение элемента \( c \):

\[ A_{21} = -1 \cdot (-4) = 4 \]

Алгебраическое дополнение элемента \( d \):

\[ A_{22} = 1 \]

Получаем матрицу алгебраических дополнений:

\[ \text{Adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \]

Шаг 3: Транспонируем матрицу алгебраических дополнений:

\[ \text{Adj}(\mathbf{A})^\text{T} = \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \]

Шаг 4: Делим транспонированную матрицу алгебраических дополнений на определитель матрицы:

\[ \mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\text{det}(\mathbf{A})}\cdot \text{Adj}(\mathbf{A})^\text{T} = \frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \]

Выполняем умножение:

\[ \mathbf{A}^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{-2}{2} & \frac{4}{2} \\ \frac{-1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \]

Итак, обратная матрица к матрице \( \mathbf{A} \):

\[ \mathbf{A}^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \]