Найти обратную матрицу

Условие:

Найти обратную матрицу

Решение:

**Предмет:** Математика **Раздел:** Линейная алгебра (Обратные матрицы) Для нахождения обратной матрицы \( \mathbf{A} \), рассмотрим матрицу \( \mathbf{A} \): \[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \] Шаг 1: Находим определитель матрицы \( \mathbf{A} \) \[ \text{det}(\mathbf{A}) = 1 \cdot (-2) - (-4) \cdot 1 = -2 + 4 = 2 \] Так как определитель \( \mathbf{A} \) не равен нулю, матрица обратима. Шаг 2: Находим алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы и составляем матрицу алгебраических дополнений: \[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \] Алгебраическое дополнение элемента \( a \): \[ A_{11} = (-2) = -2 \] Алгебраическое дополнение элемента \( b \): \[ A_{12} = -1 \cdot (1) = -1 \] Алгебраическое дополнение элемента \( c \): \[ A_{21} = -1 \cdot (-4) = 4 \] Алгебраическое дополнение элемента \( d \): \[ A_{22} = 1 \] Получаем матрицу алгебраических дополнений: \[ \text{Adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \] Шаг 3: Транспонируем матрицу алгебраических дополнений: \[ \text{Adj}(\mathbf{A})^\text{T} = \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \] Шаг 4: Делим транспонированную матрицу алгебраических дополнений на определитель матрицы: \[ \mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\text{det}(\mathbf{A})}\cdot \text{Adj}(\mathbf{A})^\text{T} = \frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \] Выполняем умножение: \[ \mathbf{A}^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{-2}{2} & \frac{4}{2} \\ \frac{-1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \] Итак, обратная матрица к матрице \( \mathbf{A} \): \[ \mathbf{A}^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \]