Найти обратную матрицу. В ответе указать сумму элементов обратной матрицы

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Матрицы, обратные матрицы

Задано: Матрица \( A \)

\[ A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 5 & -7 \end{pmatrix} \]

Найти обратную матрицу \( A^{-1} \), а затем найти сумму её элементов.

Шаг 1: Проверка существования обратной матрицы

Обратная матрица существует, если определитель исходной матрицы \( A \) не равен нулю. Формула для определения двумерной матрицы:

\[ \det(A) = ad - bc \]

где

\[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \]

Подставим значения:

\[ \det(A) = (-1) \cdot (-7) - (1) \cdot (5) \]

\[ \det(A) = 7 - 5 = 2 \]

Так как определитель равен 2, обратная матрица существует.

Шаг 2: Формула для нахождения обратной матрицы

Обратная матрица для двумерной матрицы \( A \) рассчитывается по формуле:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \]

Подставим значения:

\[ A^{-1} = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -7 & -1 \\ -5 & -1 \end{pmatrix} \]

Умножим каждую компоненту матрицы на \( \frac{1}{2} \):

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{7}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{5}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \]

Шаг 3: Сумма элементов обратной матрицы

\[ \text{Сумма элементов} = -\frac{7}{2} + -\frac{1}{2} + -\frac{5}{2} + -\frac{1}{2} \]

\[ \text{Сумма элементов} = \frac{-7 -1 -5 -1}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \]

Ответ: Сумма элементов обратной матрицы равна \( -7 \).

Теперь найдём сумму всех элементов матрицы \( A^{-1} \).