Найти обратную матрицу

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Обратная матрица

Для задания 33 требуется найти обратную матрицу A^{-1} для данной матрицы A:

A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & -1 \ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

Шаг 1. Условие существования обратной матрицы

Матрица имеет обратную, если её определитель \det(A) \neq 0. Вычислим определитель:

\det(A) = (-1) \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & -1 \ 0 & 2 \end{pmatrix} = (-1) \cdot (1 \cdot 2 - (-1) \cdot 0) = -2.

Так как \det(A) \neq 0, обратная матрица существует.

Шаг 2. Формула для обратной матрицы

Обратная матрица находится по формуле:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A),

где \text{adj}(A) — присоединённая матрица (транспонированная матрица алгебраических дополнений).

Шаг 3. Построение матрицы алгебраических дополнений

Матрица A имеет вид:

A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & -1 \ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

Миноры и алгебраические дополнения:

1. Элемент (1,1): минор M_{11} = \det\begin{pmatrix} 1 & -1 \ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2, дополнение: C_{11} = 2.
2. Элемент (1,2): минор M_{12} = \det\begin{pmatrix} 0 & -1 \ 0 & 2 \end{pmatrix} = 0, дополнение: C_{12} = 0.
3. Элемент (1,3): минор M_{13} = \det\begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0, дополнение: C_{13} = 0.
4. Элемент (2,1): минор M_{21} = \det\begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix} = 0, дополнение: C_{21} = 0.
5. Элемент (2,2): минор M_{22} = \det\begin{pmatrix} -1 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix} = -2, дополнение: C_{22} = -2.
6. Элемент (2,3): минор M_{23} = \det\begin{pmatrix} -1 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0, дополнение: C_{23} = 0.
7. Элемент (3,1): минор M_{31} = \det\begin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & -1 \end{pmatrix} = 0, дополнение: C_{31} = 0.
8. Элемент (3,2): минор M_{32} = \det\begin{pmatrix} -1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix} = 1, дополнение: C_{32} = 1.
9. Элемент (3,3): минор M_{33} = \det\begin{pmatrix} -1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} = -1, дополнение: C_{33} = -1.

Матрица алгебраических дополнений:

\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \ 0 & -2 & 0 \ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.

Шаг 4. Транспонирование матрицы

Транспонируем \text{adj}(A):

\text{adj}(A)^T = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \ 0 & -2 & 1 \ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Шаг 5. Обратная матрица

Обратная матрица:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)^T = \frac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \ 0 & -2 & 1 \ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & -\frac{1}{2} \ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.

Ответ:

A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & -\frac{1}{2} \ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.