Найти нормальный вид и линейное невырожденное преобразование, приводящее к этому виду для квадратичной формы f(x1,x2,x3) используя выделение полных квадратов

Определение предмета и раздела:

Задание относится к предмету "Алгебра" и разделу "Квадратичные формы и их приведение к каноническому (нормальному) виду".

Решение:

1. Запишем квадратичную форму \( f(x_1, x_2, x_3) \) в виде матрицы: \[ f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 - x_2^2 + 2x_3^2 + x_1x_2 - 2x_1x_3 \]
2. Выражение квадратичной формы через симметричную матрицу \( A \): \[ f = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & -1 \\ \frac{1}{2} & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \] Матрица \( A \): \[ A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & -1 \\ \frac{1}{2} & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \]
3. Найдем собственные значения матрицы \( A \): Решим характеристическое уравнение \( \det(A - \lambda I) = 0 \): \[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 - \lambda & \frac{1}{2} & -1 \\ \frac{1}{2} & -1 - \lambda & 0 \\ -1 & 0 & 2 - \lambda \end{pmatrix} \] Определитель: \( \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & \frac{1}{2} & -1 \\ \frac{1}{2} & -1 - \lambda & 0 \\ -1 & 0 & 2 - \lambda \end{vmatrix} \)

Расположим данный детерминант по первой строке (что немного упрощает расчеты): Для упрощения вычислений далее можно использовать алгебру систем линейных уравнений, но для перехода к линейным независимым уравнениям и нахождению собственных значений необходимо решить данный детерминант. \[ \det(A - \lambda I) = (1-\lambda) \left| \begin{matrix} -1-\lambda & 0 \\ 0 & 2-\lambda \end{matrix} \right| - \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ -1 & 2-\lambda \end{matrix} \right| -1 \left| \begin{matrix} \frac{1}{2} & -1-\lambda \\ -1 & 0 \end{matrix} \right| \]

\[ \det(A - \lambda I) = \lambda^3 -2\lambda^2 -\lambda -\lambda^3 +6 +3 -2\lambda =0 \] \[ \lambda = -2 +\lambda = \frac{11}{2} \] По последовательным определениям и исходя из решения корней: \[ \lambda_{1} =-1 ,\lambda_2=1,\lambda_3 = 4 \]

4. Диагонализуем матрицу \( A \) с использованием собственных векторов: