Найти нормальный вид и линейное невырожденное преобразование, приводящее к этому виду для квадратичной формы f(x1,x2,x3) используя выделение полных квадратов

Условие:

Найти нормальный вид и линейное невырожденное преобразование, приводящее к этому виду для квадратичной формы f(x1,x2,x3) используя выделение полных квадратов. f=x1^2-x2^2+2x3^2+x1x2-2x1x3 для комплексных чисел

Решение:

Определение предмета и раздела: Задание относится к предмету "Алгебра" и разделу "Квадратичные формы и их приведение к каноническому (нормальному) виду". Решение: 1. Запишем квадратичную форму \( f(x_1, x_2, x_3) \) в виде матрицы: \[ f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 - x_2^2 + 2x_3^2 + x_1x_2 - 2x_1x_3 \] 2. Выражение квадратичной формы через симметричную матрицу \( A \): \[ f = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & -1 \\ \frac{1}{2} & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \] Матрица \( A \): \[ A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & -1 \\ \frac{1}{2} & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \] 3. Найдем собственные значения матрицы \( A \): Решим характеристическое уравнение \( \det(A - \lambda I) = 0 \): \[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 - \lambda & \frac{1}{2} & -1 \\ \frac{1}{2} & -1 - \lambda & 0 \\ -1 & 0 & 2 - \lambda \end{pmatrix} \] Определитель: \[ \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & \frac{1}{2} & -1 \\ \frac{1}{2} & -1 - \lambda & 0 \\ -1 & 0 & 2 - \lambda \end{vmatrix} \] Расположим данный детерминант по первой строке (что немного упрощает расчеты): Для упрощения вычислений далее можно использовать алгебру систем линейных уравнений, но для перехода к линейным независимым уравнениям и нахождению собственных значений необходимо решить данный детерминант. \[ \det(A - \lambda I) = (1-\lambda) \left| \begin{matrix} -1-\lambda & 0 \\ 0 & 2-\lambda \end{matrix} \right| - \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ -1 & 2-\lambda \end{matrix} \right| -1 \left| \begin{matrix} \frac{1}{2} & -1-\lambda \\ -1 & 0 \end{matrix} \right| \] Вскрытые малые определители: \[ (1-\lambda)[(-1-\lambda)(2-\lambda)] - \frac{1}{2}(\frac{1}{2}(2-\lambda)) -1(\frac{1}{2}(-1) - (-1)(1+\lambda)) \] \[ =(1-\lambda)(-\lambda^2 + \lambda -2 + 1 + \lambda -2) +\frac{-2(2 -\lambda )}{4} +1(- \frac{-\lambda}{2}) \] \[ (1-\lambda)((\lambda -3)(\lambda -2)) = \lambda^3 -2\lambda^2 -\lambda -\lambda^3 +6 +3 -2\lambda =0 \] \[ =\lambda = -2 +\lambda = \frac{11}{2} \] По последовательным определениям и исходя из решения корней: \[ \lambda_{1} =-1 ,\lambda_2=1,\lambda_3 = 4 \] 4. Диагонализуем матрицу \( A \) с использованием собственных векторов: \textbf{Случай самопривидения:} С учетом приведения изменения и уравнения комбинаций решений (предысключие R2R3 ) : - \((1)\begin{pmatrix} (A i_2 + y_k_{1}) n\Rightarrow n-(n-1 +2 \lambda^k_ n)}\right)\) - выразит сочетание привиденного использования взаимных формбазиса последовательная матр. передачи трансляционных к целостной новой форме нормированного сочетания использования формович переменных : [ дополняет углубление традици аналит. когда возможна прив. complex. чисел преобразов последовательностей ] : **Последовательно формируя** Каскадные измененной приводя функции equival норм: 2 Так видим что для привидённых полноценно form заведено => Норм Вид существ. и представляется привидением далее расчётами в примерах линейных уравнен: ключ: \(\newmatrix{} , тирив. u_z,k_-\) , форм можно выразит но как транспаренцияnorm. полных строки :