Найти нормальный вид и линейное невырожденное преобразование, приводящее к этому виду для квадратичной формы f(x1,x2,x3) используя выделение полных квадратов

Определение предмета и раздела:

Задание относится к предмету "Алгебра" и разделу "Квадратичные формы и их приведение к каноническому (нормальному) виду".

Решение:

1. Запишем квадратичную форму $\text{(}f(x_1,x_2,x_3)\text{)}$ в виде матрицы: $\text{[}f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-x_2^2+2x_3^2+x_1{x}_2-2x_1{x}_3\text{]}$
2. Выражение квадратичной формы через симметричную матрицу $\text{(}A\text{)}$: $\text{[}f=\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& \frac{1}{2}& -1\\ \frac{1}{2}& -1& 0\\ -1& 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\text{]}$ Матрица $\text{(}A\text{)}$: $\text{[}A=\left(\begin{array}{ccc}1& \frac{1}{2}& -1\\ \frac{1}{2}& -1& 0\\ -1& 0& 2\end{array}\right)\text{]}$
3. Найдем собственные значения матрицы $\text{(}A\text{)}$: Решим характеристическое уравнение $\text{(}det(A-\lambda I)=0\text{)}$: $\text{[}A-\lambda I=\left(\begin{array}{ccc}1-\lambda & \frac{1}{2}& -1\\ \frac{1}{2}& -1-\lambda & 0\\ -1& 0& 2-\lambda \end{array}\right)\text{]}$ Определитель: $\text{(}det(A-\lambda I)=\left|\begin{array}{ccc}1-\lambda & \frac{1}{2}& -1\\ \frac{1}{2}& -1-\lambda & 0\\ -1& 0& 2-\lambda \end{array}\right|\text{)}$

Расположим данный детерминант по первой строке (что немного упрощает расчеты): Для упрощения вычислений далее можно использовать алгебру систем линейных уравнений, но для перехода к линейным независимым уравнениям и нахождению собственных значений необходимо решить данный детерминант. $\text{[}det(A-\lambda I)=(1-\lambda )\left|\begin{array}{cc}-1-\lambda & 0\\ 0& 2-\lambda \end{array}\right|-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 0\\ -1& 2-\lambda \end{array}\right|-1\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -1-\lambda \\ -1& 0\end{array}\right|\text{]}$

$\text{[}det(A-\lambda I)={\lambda }^3-2{\lambda }^2-\lambda -{\lambda }^3+6+3-2\lambda =0\text{]}$ $\text{[}\lambda =-2+\lambda =\frac{11}{2}\text{]}$ По последовательным определениям и исходя из решения корней: $\text{[}{\lambda }_1=-1,{\lambda }_2=1,{\lambda }_3=4\text{]}$

4. Диагонализуем матрицу $\text{(}A\text{)}$ с использованием собственных векторов: