Найти нормальный вид и линейное невырожденное преобразование, приводящее к этому виду для квадратичной формы f(x1,x2,x3) используя выделение полных квадратов. f=x1^2-x2^2+2x3^2+x1x2-2x1x3 для комплексных чисел

Давайте решим задачу по нахождению нормального вида квадратичной формы \( f(x_1, x_2, x_3) \) для заданной функции: \[ f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 - x_2^2 + 2x_3^2 + x_1x_2 - 2x_1x_3 \]

1. Определение предмета и раздела:
   • Предмет: Линейная Алгебра.
   • Раздел: Привидение квадратичной формы к каноническому виду с помощью линейного невырожденного преобразования.
   Начнем с выражения квадратичной формы в матричной форме. Для этого найдем симметрическую матрицу \( A \) такой, что \( f(x) = x^T A x \), где \( x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \).
2. Формирование матрицы квадратичной формы: В выражении \( f \) у нас имеются смешанные члены \( x_1 x_2 \) и \( x_1 x_3 \). Квадратичная форма может быть записана как \( x_1^2 - x_2^2 + 2x_3^2 + x_1x_2 - 2x_1x_3 \). Матрица \( A \) будет симметричной, и элементы \( A_{ij} \) определяются таким образом: \[ f(x) = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \] Так, \( f(x) = x_1^2 - x_2^2 + 2x_3^2 + x_1x_2 - 2x_1x_3 \) можно разложить на: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & -1 \\ \frac{1}{2} & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \]
3. Приведение к каноническому виду методом Лагранжа (выделением полных квадратов): Рассмотрим форму \( f = x_1^2 - x_2^2 + 2x_3^2 + x_1 x_2 - 2x_1 x_3 \). Начнем с выделения полных квадратов для упрощения: \[ f(x_1, x_2, x_3) = \left( x_1^2 + x_1 x_2 \right) - x_2^2 - 2x_1 x_3 + 2x_3^2 \] Попробуем собрать по группам, определяя новые переменные: \[ f(x_1, x_2, x_3) = x_1 \left( x_1 + x_2 \right) - x_2^2 - 2x_1 x_3 + 2x_3^2 \] Теперь введем замены, чтобы выделить полные квадраты: Пусть \( y_1 = x_1 + \frac{1}{2} x_2 - x_3 \), \( y_2 = x_2 \) и \( y_3 = \frac{1}{2} x_2 + x_3 \). Перепишем нашу форму в новых переменных: \[ f(y_1, y_2, y_3) = y_1^2 - y_2^2 + y_3^2 \] Таким образом, нормальный вид квадратичной формы— это каноническая форма: \( y_1^2 - y_2^2 + y_3^2 \).
4. Линейное преобразование: Отсюда, линейное преобразование \( T \), которое приводит к каноническому виду, имеет вид: \[ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \] Проверить невырожденность преобразования можно через определитель: \[ \det \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} \neq 0 \] Деталь будет равна: \[ \det = 1 \cdot (1 \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0) - \frac{1}{2} \cdot (0 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - (-1) \cdot (0 \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2}) = 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \neq 0 \] Таким образом, линейное преобразование невырожденное. Итак, нормальный вид квадратичной формы \( f \) — это \( y_1^2 - y_2^2 + y_3^2 \), а линейное преобразование, приводящее к этому виду: \[ T = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} \]