Найти наибольший общий делитель (НОД) двух полиномов

Данный пример относится к разделу математики, а конкретно к алгебре. Нам необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) двух полиномов. Полиномы выглядят следующим образом:

• 1. \( f(x) = 2x^5 + x^4 - 15x^3 - 7x^2 + 16x - 4 \)
• 2. \( g(x) = 2x^4 + 3x^3 - 10x^2 - 10x + 9 \)

Метод решения:

1. Шаг 1. Найдем остаток при делении первого многочлена на второй (деление многочленов):
Чтобы найти НОД, сначала нам нужно выполнить деление первого многочлена на второй многочлен (по аналогии с делением чисел в столбик). Начинаем делить старшие члены: \[\frac{2x^5}{2x^4} = x\] Теперь умножаем весь второй полином \( g(x) \) на \( x \): \[x \cdot (2x^4 + 3x^3 - 10x^2 - 10x + 9) = 2x^5 + 3x^4 - 10x^3 - 10x^2 + 9x\] Теперь вычитаем результат из первого многочлена \( f(x) \): \[(2x^5 + x^4 - 15x^3 - 7x^2 + 16x - 4) - (2x^5 + 3x^4 - 10x^3 - 10x^2 + 9x) = -2x^4 - 5x^3 + 3x^2 + 7x - 4\]
2. Шаг 2. Теперь делим получившийся остаток на второй полином:
Делим старшие члены: \[\frac{-2x^4}{2x^4} = -1\] Теперь умножаем второй полином на \( -1 \): \[-1 \cdot (2x^4 + 3x^3 - 10x^2 - 10x + 9) = -2x^4 - 3x^3 + 10x^2 + 10x - 9\] Вычитаем это из остатка: \[(-2x^4 - 5x^3 + 3x^2 + 7x - 4) - (-2x^4 - 3x^3 + 10x^2 + 10x - 9) = -2x^3 - 7x^2 - 3x + 5\]
3. Шаг 3. Повторяем шаги с делением остатков:
Теперь делим старшие члены: \[\frac{-2x^3}{2x^4} = 0\] Так как следующим остатком будет многочлен степени ниже, больше делить остаток не имеет смысла. Таким образом, наибольший общий делитель — \( \boxed{x + 1} \), так как после второго шага осталась нормальная разность.

Ответ: Наибольший общий делитель двух многочленов — \( x + 1 \).