Найти наибольший общий делитель (НОД) двух полиномов

Данный пример относится к разделу математики, а конкретно к алгебре. Нам необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) двух полиномов. Полиномы выглядят следующим образом:

• 1. $\text{(}f(x)=2x^5+x^4-15x^3-7x^2+16x-4\text{)}$
• 2. $\text{(}g(x)=2x^4+3x^3-10x^2-10x+9\text{)}$

Метод решения:

1. Шаг 1. Найдем остаток при делении первого многочлена на второй (деление многочленов):
Чтобы найти НОД, сначала нам нужно выполнить деление первого многочлена на второй многочлен (по аналогии с делением чисел в столбик). Начинаем делить старшие члены: $\text{[}\frac{2x^5}{2x^4}=x\text{]}$ Теперь умножаем весь второй полином $\text{(}g(x)\text{)}$ на $\text{(}x\text{)}$: $\text{[}x\cdot (2x^4+3x^3-10x^2-10x+9)=2x^5+3x^4-10x^3-10x^2+9x\text{]}$ Теперь вычитаем результат из первого многочлена $\text{(}f(x)\text{)}$: $\text{[}(2x^5+x^4-15x^3-7x^2+16x-4)-(2x^5+3x^4-10x^3-10x^2+9x)=-2x^4-5x^3+3x^2+7x-4\text{]}$
2. Шаг 2. Теперь делим получившийся остаток на второй полином:
Делим старшие члены: $\text{[}\frac{-2x^4}{2x^4}=-1\text{]}$ Теперь умножаем второй полином на $\text{(}-1\text{)}$: $\text{[}-1\cdot (2x^4+3x^3-10x^2-10x+9)=-2x^4-3x^3+10x^2+10x-9\text{]}$ Вычитаем это из остатка: $\text{[}(-2x^4-5x^3+3x^2+7x-4)-(-2x^4-3x^3+10x^2+10x-9)=-2x^3-7x^2-3x+5\text{]}$
3. Шаг 3. Повторяем шаги с делением остатков:
Теперь делим старшие члены: $\text{[}\frac{-2x^3}{2x^4}=0\text{]}$ Так как следующим остатком будет многочлен степени ниже, больше делить остаток не имеет смысла. Таким образом, наибольший общий делитель — $\text{(}\boxed{{\displaystyle x+1}}\text{)}$, так как после второго шага осталась нормальная разность.

Ответ: Наибольший общий делитель двух многочленов — $\text{(}x+1\text{)}$.