Задание относится к алгебре, разделу многочлены. Задача — найти наибольший общий делитель (НОД) двух многочленов:
Первый многочлен (назовем его \( P(x) \)): \[ 4x^5 + 8x^4 - x^3 - 6x^2 - 10x - 1 \]
Второй многочлен (назовем его \( Q(x) \)): \[ 4x^4 + 4x^3 - x^2 - 5x - 5 \]
Для нахождения НОД многочленов можно использовать метод деления полиномов с остатком, который аналогичен алгоритму Евклида для чисел.
Шаг 1. Разделим многочлен \( P(x) \) на многочлен \( Q(x) \)
Для начала разделим многочлен большей степени \( P(x) \) (5-я степень) на многочлен меньшей степени \( Q(x) \) (4-я степень).
- Возьмем первую степень старшего члена \(\frac{4x^5}{4x^4} = x\).
- Умножим весь многочлен \( Q(x) \) на \( x \): \[ (4x^4 + 4x^3 - x^2 - 5x - 5) \cdot x = 4x^5 + 4x^4 - x^3 - 5x^2 - 5x \]
- Теперь вычтем произведение из \( P(x) \): \[ (4x^5 + 8x^4 - x^3 - 6x^2 - 10x - 1) - (4x^5 + 4x^4 - x^3 - 5x^2 - 5x) = 4x^4 - x^2 - 5x - 1 \] Остаток — это новый многочлен, который будем делить дальше.
Шаг 2. Деление остатка на \( Q(x) \)
Теперь делим остаток \( 4x^4 - x^2 - 5x - 1 \) на \( Q(x) \).
- Возьмем первую степень старшего члена \(\frac{4x^4}{4x^4} = 1\).
- Умножим \( Q(x) \) на 1: \[ (4x^4 + 4x^3 - x^2 - 5x - 5) \cdot 1 = 4x^4 + 4x^3 - x^2 - 5x - 5 \]
- Вычтем это из остатка: \[ (4x^4 - x^2 - 5x - 1) - (4x^4 + 4x^3 - x^2 - 5x - 5) = -4x^3 + 4 \]
Шаг 3. Деление на \( Q(x) \)
Теперь делим новый остаток \( -4x^3 + 4 \) на \( Q(x) \).
- Возьмем первую степень старшего члена \(\frac{-4x^3}{4x^4} = -1/x\), что не является целым многочленом. Следовательно, дальнейшего деления нет, и это и есть наибольший общий делитель.