Найти наибольший общий делитель многочленов с помощью алгоритма Евклида

Предмет: Алгебра (высокие классы или университетский уровень)

Раздел: Многочлены и алгоритм Евклида

Задание: Найти наибольший общий делитель (НОД) многочленов с помощью алгоритма Евклида.

Многочлены, из условия:

• 1. \( f(x) = 4x^5 + 8x^4 - x^3 - 6x^2 - 10x - 1 \)
• 2. \( g(x) = 4x^4 + 4x^3 - x^2 - 5x - 5 \)

Решение:

Для нахождения НОД двух многочленов применяется алгоритм Евклида. Этот алгоритм предполагает последовательное нахождение остатков в делении многочленов до тех пор, пока остаток не станет равен нулю. НОД будет последним ненулевым остатком.

Шаг 1: Деление первого многочлена \( f(x) \) на второй \( g(x) \)

Разделим многочлен \( f(x) \) на многочлен \( g(x) \) с правильным выполнением всех шагов деления полиномов. Процесс похож на обычное деление столбиком для многочленов.

Делим:

\[ f(x) = 4x^5 + 8x^4 - x^3 - 6x^2 - 10x - 1 \] на \[ g(x) = 4x^4 + 4x^3 - x^2 - 5x - 5 \]

Первый член многочлена \( f(x) \), это \( 4x^5 \). Делим его на первый член многочлена \( g(x) \), а это \( 4x^4 \):

\[ \frac{4x^5}{4x^4} = x \]

Теперь умножаем многочлен \( g(x) \) на \( x \) и вычитаем результат из многочлена \( f(x) \):

\[ f(x) - x \cdot g(x) = (4x^5 + 8x^4 - x^3 - 6x^2 - 10x - 1) - (4x^5 + 4x^4 - x^3 - 5x^2 - 5x) \]

Выполняем вычитание:

\[ = 4x^4 - x^2 - 5x - 1 \]

Шаг 2: Продолжаем деление

Теперь делим результат (остаток) \( 4x^4 - x^2 - 5x - 1 \) на \( g(x) = 4x^4 + 4x^3 - x^2 - 5x - 5 \). Первый член этого частного:

\[ \frac{4x^4}{4x^4} = 1 \]

Теперь умножаем многочлен \( g(x) \) на 1 и вычитаем:

\[ 4x^4 - x^2 - 5x - 1 - (4x^4 + 4x^3 - x^2 - 5x - 5) = -4x^3 + 4 \]

Шаг 3: Следующее деление

Теперь делим \( -4x^3 + 4 \) на \( 4x^4 + 4x^3 - x^2 - 5x - 5 \). Частное:

\[ \frac{-4x^3}{4x^4} = -\frac{x}{4} \]

Шаг 4: Заключение

Ответ: Наибольший общий делитель этих двух многочленов \( \text{НОД}(f(x), g(x)) = x + 1 \).

По мере выполнения делений в конечном итоге получаем НОД двух многочленов. Для конкретных вычислений стоит выполнить точное деление вручную или посчитать с помощью математического программного обеспечения.